Page 87 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Giải
[x^'z-2xz^ = 1
Đặt z = -Jy + \ , z > 0 hộ trờ thành
I x^ -3xz^ = 6
Ta có z = 0 không thỏa mãn hệ.
z '( t '- 2 t ) - l
Với z > 0, đặt X = tz hệ đã cho trờ thành
z '(t^ -3 t) = 6

Suy ra -í;—^ = — <::> t^ - 6t ) 9 =^0 <=> t = 3.
Í - - 3 6
Từ đó ta có nghiêm của hô X = V9 , y = -1 .
V9
X“(l + y^) + y-(l + x-) = 4 ^
Bài toán 4.66: Giải hệ phương trình:
X"y-y/l + y’ - V l + x ’ = x “y - x

Giải
Điều kiện: xy > 0
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
X - 'J\ + x^ = x“y(l - Ạ + y^ )

Ta có X = 0 không thỏa mãn phương trình

Vì X- Vl + X" < 0 và 1 - Ạ + y^ < 0 nôn suy ra y > 0. Do đó X > 0.

Phương trình tương đương: ---- - J l + ~ = y - y j \ + y^'
X XV X

Xét hàm f(t) = t - t V T - i ^ trên (0; I oo)

T a c ó f'(t)= 1 - Vl + t^ < 0, với mọi t G (0; i-oo)
^/ĩ + v
Suy ra hàm f nghịch biến trên (0; -t oo).

Phương trình f( —) = f(y) o — = y o xy = 1.
X X
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có:

1 + - + -V (l + x ') = 4 o x '+ - ^ = 2
V X X
(x“ - 1)" = 0 <=> x^ 1 o X = ± 1
Ket hợp điều kiện, ta có nghiệm X y 1.

86