Page 234 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bài toán 9.43: Cho X, y là các số thực thay đổi và thoả điều kiện < y. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức; F = x^ + y^ - 8x + 16.
Giải

Nếu X > 0 thì x^ < y^ và F = x^ -í- y^ - 8x + 16 > x^ + x^ - 8x -I-16.
Xét hàm số: f(x) = x^’ -I x^ - 8x t 16 với X > 0.
f '(x) = 6x^ + 2x - 8; f "(x) = 30x'‘ + 2 > 0, GX > 0.
Do đó f ’(x) đồng biến. Ta có:
x> 1 = > f'(x )> f'(l) = 0 ;0 < x < 1 ^ f ’(x )< f'(l) = 0
BBT
X 0 1 -00
f ' 0 +
16 ^
f
10

Từ đó: f(x) > 0 => F > 10. Dấu đẳng thức xảy ra khi X = y = 1.
Nếu X < 0 thì x^ -1- y^ - 8x + 16 > 16
Vậy minF = 10, đạt được khi X = y = 1.
Bài toán 9.44: Cho các số thực X, y thay đổi và thoả mãn (x + y)^ + 4xy > 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3(x‘^ -t- y'* + x^y^) - 2(x^ + y^) + 1.
Giải
Kết hợp (x + y)^ + 4xy > 2 với (x + y)^ > 4xy suy ra:
(x + y)^ + (x + y)^ > 2 => X + y > 1.
A = 3(x'* + y'' + x^y") - 2(x” + y^) + 1

= I (x '+ y Y + I (x''+ y'") - 2(x'+ y') + 1

> I (x' + y')' + ^ (x' + y')' - 2(x' + y') + 1

=> A > -(x ^ + y V -2(x^ + y^)+ 1.
4

Đăt t = x^ + y^, ta có: x^ + y^ > > — => t > —, do đó A > — t^ - 2t + 1
^ ^ 2 2 2 4

Xét f(t) = — t^ - 2t + 1; f '(t) = — t - 2 > 0 với moi t > —
^ 4 2 2

■ niin f(t) = f
16
“H
9 , 1 , , 9
Do đó A > — dâu = khi X = y = —. Vây giá tri nhỏ nhât của A băng — .
16 2 16

2 3 3