Page 218 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bài toán 9.8: Cho nàm số thực a; b; c; d, e thuộc đoạn [0; 1].
1'ìm giá trị lớn nhất của:
a b c d e
p = - + ■
1 + bcde 1 + cdea 1 + deab 1 + eabc 1 + abcd
Giải
Không mất tính tổng quát giả sử a < b < c < d < e.
„ . „ _ a b c d c
l a c ó p =
1 + bcde 1 + cdea 1 + deab 1 + eabc 1 + abcd
a b c d e
n ê n p <
1 + abcde 1 + abcde 1 + abcde 1 + abcde 1 + abcde
_ a + b + c-t d + e
1 + abcde
Do a, b, c, d, e e [0, 1] nôn;
(1 - abc)(l - de) + (1 - ab)(l - c) + (1 - d)(l - e) 4 (1 - b)(l - a) > 0

=>a + b + c + d + e < 4 + abcde < 4( 1 4- abcde)
Do đó: p < 4. Khi a = 0, b = c = d = e= l thìP = 4. Vậy max p = 4.
Bài toán 9.9: Cho X, y, z >0 tuỳ ý và thoả mãn xyz = 1.
Tìm giá tri lớn nhất của A = —z— ---- 4—;— ỉ-------h —— —— .
jc'+ y^4-l y ' + z ^ + l z ^ + x ' + \
Giải
Ta có: x^ 4 y^ + 1 = (x + y) (x^ - xy 4- y^) 4 1
> (x 4- y)xy 4- 1 = xy(x 4- y 4- z)

= > í — - V — = — 1 —
X' + y ' 4-1 x v ( x + v 4 - z ) x 4 - y + z

Tưomg tự: - 3 V, < -----^ ^ -----
y 4 - z ' 4 - l x 4 - y 4 - z z ' 4 - x + l x 4 - y 4 - z
Cộng lại thì A < 1, dấu = khi X = y = z = 1. Vậy maxA = 1.
Bài toán 9.10: Cho các số thực a, b, c sao cho phương trình ax" 4- bx + c = 0 có 2
nghiệm thuộc đoạn [0; ĨJ.

Tìm giá trị lớn nhất cùa biểu thức p =
a ( a - b 4 - c )

Giải
Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là Xi < X2; theo định lý Viet:
(a -b)(2a -b ) _ / b^ í. b c^
p =
í ^ - - ì
a(a - b 4 - c ) l a j l a a j

2 1 7