Page 217 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Giải

Đặt u = ị ỉ ĩ ^ x ,v = Vl + X (u,v> 0):^uv = Vĩ^-X" , u'* + v'* - 2
thì f(x) = A = uv + u + V.
Ta có (u^ - > 0 => u'’ + v'^ > 2u^v^ =í> 2(u'* -I v"*) > (u^ + v^)" : < 2
và (u - v)^ > 0 => > 2uv => 2(u^ + v ^ ) > (u + v)^
- U " + V " 2 .
=> u V < 2; uv < - - - - ^ - - - - < — = 1
2 2

Do đó A < 1 +2 = 3, dấu " = " xảy r a o u = v<::>x = 0
Vậy max f(x) = 3 <=> X = 0.
Bài toán 9.6: Cho X, y, z thay đổi và thoả mãn x^ + + 7? = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu thức; p = X + y 4 z + xy + yz + zx.
Giải
Ta có: 1 = x^ + y" 4 7~ ~ (x 4 y 4' zÝ - 2(xy 4- yz ^ z)

nên p = X 4- y 4- z 4- — ---- !- = — (x + y 4- z 4- 1 )^ - 1 > -1

Khi X = -1. y = z = 0 thì p = -1. Vậy minP = -1
Ta có XV 4- yz 4- ZX < x^ 4- y^ 4- z^ = 1
Nên (x 4- y + z)^ = 1 4- 2(xy 4- yz 4- zx) < 3. Do đó p < \Ỉ3 4- 1.

Khi X = y = z = thì p = Vs 4- 1. Vậy maxP = Vs 4- 1.

Bài toán 9.7: Cho X, y, z là các số thực thuộc đoạn [1,2].

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = -r— ^ 4 t ---------- )- — —
2+ z 2+ x 2+ y
Giải
Vì X , y, z e [ 1; 2] => X 4- y > 2 => X 4- y 4- z > 2 4 z.
Tưong tự; X 4- y 4- z > 2 4- y và X 4 y 4- z > 2 4- X .
x 4 - y y + z Z4-X x 4 - y y 4 z z 4 X
nên p = + — > - - - - L 2 _ + + - - - - - - - - - - - ^ 2
2 4 - z 2 4 - x 2 4 - y X 4 y 4 - Z x 4 - y 4 z x 4 - y 4 - z
D ấ u " = " k h i X = y = z = 1 = > m i n p = 2 .
X X y y z z y z z X
v à p = — _____ __________ Ị__________ ^ _____I__________ |_
2 4 - z 2 4 - x 24-y 2 4 z 2 4 - x 24-y
X y z y z X
< -11-+ + _ z _ + —í _ + = 3
X4-Z y4-x z4-y V 4 - Z Z 4 - X X4-y

Dấu ' k h i X = y = z = 2 = í > m a x p = 3 . V ậ y m i n p = 2 v à m a x p = 3 .

2 1 6