Page 194 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

+b‘^ b‘'+ c ‘^ c'^+a^
Ta có >1
abịa^+b^^ h c ị ^ b ^ ca(c^+ữ‘^j

_
4
4

4
4

X + y + y y + z y +z . 4 z + xz +x 4
X
> ---------------ị - £ ---- ^--------1----------- --- > Ị
<=> ■■■ V , ---T- + — —— >1
3 3 3 3 3 3
X + y y -\-z z + X
z -rx
Ta chứng minh bấl đẳng thức ---- - - >
X + _y' 2
Bất đẳng thức này tưcmg đương với bất đẳng thức (x - y f (x‘ + x_y + ) > 0,
Tương tự ta chứng minh hai bất đẳng thức
4 4 _ 4 4
z l l í _ > z ± . 2 + X z + X
y^ + z^ 2 z" + x’
Cộng cả ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh.
Bài toán 7.79: Cho a, b, c là ba số từng đôi một khác nhau.
u a '- b ' b-’ - c ' c ' - a ' ^ 9
Chứng minh: ^ ^ + -------- - + -------^ > —
(a-b)'^ (b - c )’ ( c - a ) ’
Giải
a ' - b ’ b '- c ' c '- a ' 9
Ta có --------------+ — ------------+ -------------- > —
( a - b ) ' (b - c )' (c - a ) ' 4
a ’ +ab + b^ b '+ b c + c^ c"+ ac + a^ 9
----------- -----1- —------ — -----1-------71— > —
(a-b )^ (b-c)^’ (c-a)^ 4

a + b b + c c + a ab bc ca
<=> >-
(a-b)^ (b-c)“ (c-a)" (a-b)“ (b-c)^ (c-a)“

a + b b+ c c+ a
Đặt; X = — ^— ; y = —^— ; z = ——
a - b b - c c - a
Suy ra: (x + l)(y l)(z 4 1) = (x - l)(y - l)(z - 1) <=> xy + xz + yz = -1
Mà: (x + y -t zÝ > 0=> x^ -t y“ -I- 7 } > -2(xy + xz t yz) = 2
(a + b)" (b + c)^ (c + a)^ a^+b^ b"+c^ c^+a^ 5
(a-b )^ (b-c)^ (c -a )" (a-b)^ (b - c ) “ (c-a)^ 2

,,, ab bc ca 1
Và — - ^ + -— — r + —
( a - b ) “ (b -c)" (c-a)" 4
Từ đó suy ra đpcm.
^ a + b b + c c + a _
Dâu băng xay ra khi X y -t z = 0<:í>- - - - - - - 1 - - - - - - - - - 1 - - - - - - - = 0 .
a - b b - c c - a

193