Page 190 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

7t
Bài toán 7.69: Chứng m i n h với moi X G (0; — ) : sinx )■ tanx > 2x.

Giãi
Ta có sinx i- tanx > 2x sinx tanx - 2x > 0.
n ,
Xét hàm sổ f(x) = sinx -t tanx - 2x thi f liên tục trên nửa khoảng [0; — ) v à c ó
2
đạo hàm:

f '(x ) = c o s x t~ 2 > c o s“x 1 — — 2 (c o s x - > 0.
c o s X c o ấ X COSÍ

Do đó hàm sổ f đồng biến trcn 10; —) nèn f(x) > f(0) = 0.

Bài toán 7.70: Chứng minh với lam giác ABC có 3 góc nhọn thi
2(sinA + sinB I sinC) lanA t- tanB t tanC' > 3tx.
Giải
71
Ta chímg minh 2sinx + tanx > 3x vứi mọi X e (0; --)•

7 7 . . ,
Thật vậy. hàm số f(x) = 2sinx t tanx - 3x liôn tục trên nửa khoảng [0; — ) v à CÓ
7
đạo hàm
1 1
V - -3 > 3 - 3 = 0 .
f'(x) = 2cosx 7----- - 3 = cosx + cosx + --------
cosx cos X
Do đó hàm số f đồng biến trên | 0; —) nên í'(x) > í'(0) = 0.

'l'a có 2sinx t tanx > 3x nên với tam giác AIÌC có 3 góc nhọn thì
2sinA -I lanA > 3A, 2sinB t tanB > 3B, 2sinC 7- tanC > 3C.
Cộng lại 3 bất đang thức thì dược-
2(sinA i sinB ) sinC) t tanA 7 tanB ^ tanC > 3ti.
Bài toán 7.71: Chứng minh bất đang thức:
n
( x + l ) cos x c o s — > 1 , V x > .
X 7-1 X
Giải
Ta có bất đẳng thức tương đưong
. Tĩ(2x7-1) . 7 1 ^ -.7 7Ĩ
2xsin — -— > 1 -cos--— = 2sirr
2x(x+l) 2x(x7-1) x + 1 2 (x + Ĩ)

. 71(2x7-1) . K . Ị TC
<» xsin - - > -.sin— 7—_ >sim --
2x(x-rl) 2x(x7-1) 2(x-fl)

1 8 9