Page 187 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

•7
y , r z z~x
— + — — > X + _y + z <=> u V + —--1' — > u + V -t- 1
y u V
<=> u^v (v - 1) + u" - uv(v“ I' 1) + > 0
Khi V = 1 thì bất đẳng thức đúng.
Ta xét trường họp V > 1:
Xét: f(u) = u^v(v - 1) + - uv(v^ + 1) + v^;
Ta có: f(v) =^= v'’(v - 1) + v“ - v^(v^ + 1)
= v^-2v'* + v^ = v > - 1)^>0
Và f ’(u) = 3uV(v - 1) + 2u - v(v^ H- 1) là hàm số bậc hai của u có a và c trái
dấu nên luôn luôn có hai nghiệm trái dấu là U| < 0 < U2.
Mà f ’(v) = 3v^(v - 1) t 2v - v(v^ t- 1) = 3v'^ - 3v^ - + V
= 3v'^ - 4v^ + V = v(3v^ - 4v^ + 1)
= v(v - 1) [v(2v - 1) + (v - 1)1 = v(v - 1) (3v^ - V - 1) > 0
Do f ’(u) > 0 tại Li V nên V nằm ngoài hai nghiệm U|, Li2 nhưng V > 1 > Ui
nên V > U2. Vậy f ’(u) > 0 với mọi u > V =t> đpcm.

7 2 9 4
Bài toán 7.64: Cho X, y, z > 0, X -! y + z = 1. Chứng minh: X y + y z + z X <
27
Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử: y = min{x, y, z} => 0 < y < —.

l'a có f(x) = x^y + y^z + z \ = x^y + y^( 1 - X - y) -t- x( 1 - X - y)^
= x^ + (3y - 2)x^ + (1 - 2y)x - y^ - y^
f'(x) = 3x- + 2 ( 3 y - 2 ) x + 1 - 2y
f '(x) = 0 <=> X = — hoặc X = 1 - 2y > —.
3 3
V ì x = l - y - z < l - y nên ta có BBT:
X -co 0 1/3 l-2y 1-y -teo

f ' + 0 - 0 -t

f

4 1 /1 -ì \ ^ ^
Ta có f - y ( l - 3 y + 3 y ) < — , v à
2 7 3 2 7

/-/, X _ /, 1 ., /, ^/, ^ lÍ2x+l-y+l-yV
f(l-y) = y(l-y) - ^ . 2y(l - y)(l - y) <
2 2\ 3 J 27

186