Page 188 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Vậy f(x) < — suy ra đpcm.

Bài toán 7.65: Cho X, y, z > 0 và X + V + z = 1. Chứng minh:
7
0 < xy + yz + zx - 2xyz < — .

Giải
Giả sử z là số bé nhất thi 0 < z < —. Ta có
3

T = xy t yzI- zx - 2 xyz = xy(l - 2z) ( (x -i- y)z > - xy I (x + y)z > 0
3
f x + y^-
Và có T < (1 - 2 z ) + ( x + y ) z
V 2

i ( 1 - z ) \ \ - 2z) + ( 1 - z)z = j (-2z' + z,2 + 1 )
4 4
1
Xét f(z) = -2z^ + z/ + 1, 0 < z < - thì

7 1 ' 1
f'(z) = -67} + 2z = 2z(l - 3z) > 0 trên f(z) đồng biến trên [0; — ], do đó

T = f ( z ) < f ( - ) = — .
3 27
Bài toán 7.66: Cho X > 0.
1 x^ /------ 1
Chứng minh bâl đăng thức sau: 1 + — X - - — <Vl + x <1 + — X .
2 8 2
Giải
Xét hàm số f(x) - 1 + — X - Vl + X trên [0; f-oo). Ta có: f'(x) = ---------} ..... > 0
2 2 2VI + X
với X > 0 nên f(x) đồng biển trên nữa khoảng [0; + 00). Do đó f(x) > f(0) = 0 với
mọi X > 0.
I------ 1 X"
Xét hàm sô g(x) = vl + X - 1 - — + ^ trên [0; +c»).
2 8

Ta có: g'(x) = — i ---- - —+ —, g"(x) = ------------- ỉ-7 = = > 0
2V1 + X 2 4 4 4(1 + x)Vl + X

nên g' đồng bién trôn [0; i-00), do đó g'(x) g'(0) = 0.
Suy ra g đồng biến trèn |0; t ũo) nên g(x) > g(0) = 0
với mọi X e [0; -too) => đpcm.

187