Page 186 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

OA = x/ãf^bf -t c‘f ; AB = JíÌ2 + + c‘ị ; BC ,/a'ị + bg -t C3

Nên ta có; yja‘f + bf + cf ■+ + by +cl t ^Ịaị + b3 + C3
= OA -I AB i B C > O C - 13.
Bài toán 7.61: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh
a^ + b'^-t c‘ ) d'’ ( 2abcd- (a^b^-)■ a V + b^c^ t b^d^-t c^d^)> 0.
Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử a > b> c > d > 0.

Xem vế trái là hàm số f(a), a > 0
f '(a) 4a^ + 2bcd - 2a(b^ t + d”)
f "(a) = 12a" - 2(b“ 't c“ 4 d^) > 0 nên f ' đồng biến trên (0; i oo);
mà a > b => f '(a) > í' '(b)
Vì f'(b) = 2b(b^ - c^) t 2bd(c - d) > 0 nên f(a) đồng biến trên [0; t-Qo), mà a > 0
=> f(a) > f(0) = 0: đpcm.
Bài toán 7.62: Chứng minh bất đẳng thức:
Nếu X > -1 và a > 1 thì (1 + x)“ > 1 t ax.
Nếu X > -1 và 0 < a < 1 thì (1 + x ) “ < 1 t ax.
Giải
Cho X > -1 và a > 1. Ta chứng minh: (1 I- x)“ - (1 I ax ) > 0
Xét hàm số: f(x) = (1 4 x)“ - 1 - ax với X > -1
Ta có f ’(x) = a(l 4 x)“"'- a = a[(l 4 x)“’’ - 1]
f ’ ( x ) - 0 t h ì x - 0.
Bảng biến thiên

X -1 0 4 co
f ’ 0 +
í'
---------0 '

Do đó: f(x) > 0 Vx > -1 nèn suy ra điều cần chứng minh.
Trường hợp 0 < a < 1 ta chứng minh tương tự.

Bài toán 7.63; Cho các số thực dương X, y, z với X > y > z.
X' V y''z ^ 3 2 2
Chứng minh: —^ -í- ---------^ — - > X 4- y + z .
■ 4- ----- f- •
X y
Giải
X y
Đặt u = —, V == — với u > V > 1, thì:

185