Page 189 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bài toán 7.67: Cho các số nguyên n (n > 2) và hai sổ ihực không âm X, y. Chứng
minh: + y" > + y"*' .
Giải
Với X = 0 hoặc y = 0, bất dẳng thức dúng.
Với xy > 0, bất đăng thức cần chứng m i n h tương đương với

n n t l
ĩ 1 + > n+l 1 +
[ y j i l y j
ỉy [ -Ị.
Xét hàm sổ f(t) = — =- với t G (0; +oo).

t" ' ( 1 - t )
Ta có f ’(t) ; f ’ ( t ) = 0 c í > t = 1 .
rnl|

B B T t 0 1 -1-00

f'(t) 0 ( 0

I'(t)

Suy ra f(t) > 1 với mọi t e (0; I oo) :=í> dpcm.
Bài toán 7.68: Cho X, y G |0. 11.
. . . 1 1 2
Chứng minh bât đăng thức —ị = + ---------- < —ị =
Vl + x ' ^ì + y-- + xy

Giãi
2 1 1
Xét hàm sô f ( x ) = , — J = — ----- trên đoạn [0, 1J.
Ạ + x y ^ J \ + x ^ Ạ + y ^

Ta có f ' ( x ) = - - - - - , - - - - - - - - — r y
( l + x - - ) “ ( l + x y f “
x ^ ( l + x y ) ’ - y ^ ( l + x ^ ) ^
(1 + X' (1 + xy)'''(x(l + xy)''' + y(l + X ")'''

Như vậy dấu của 1' ’(x) là dấu cùa
x\l+xy)^ - y^(l 1 x“f = (x-ỵ)(x+y I 3x^y-x V ).
Do x, y thuộc [0, 11 nôn thừa số thứ hai luôn dương, như thế f ’(x) đối dấu ti
âm sang dương tại y, suy ra y là diêm cực tiôu, suy ra f'(x) > f(y) = 0: đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi x == y.

188