Page 191 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

^ ^ n(2x + l) n
Vì X > v3 => 0 < -—-— < < _
2(x + l) 2x(x + l) 2
sin7ĩ(2x +1) 71
> s i n - > 0 (1)
2x(x + 1) 2(x +1)
7T
Ta sẽ chứng minh: X sin > sin- (2)
2x(x + 1) 2(x + l)
n
Đặt t ■, t > 0 thì (2) <=> xsint > sinxt
2x(x + l)

Xét hàm số f(t) xsint - sinxt, t > 0 thì
f ' ( t ) = X cost - xcost = x(cost - cosxt)

Vì 0 < t < xt < - ::=> f'(t) > 0 với t > 0.
2
=> f(t) đồng biến trên [0; +co) => f(t) > f(0) == 0 => (2) đúng.
Từ (1), (2) =í> đpcm.
Bài toán 7.72: Chứng minh bất đẳng thức:
, ^ y s i n x ^ ^ ^ 5tx
cos(x + y) < — v ớ i x > 0 , y > 0 v à x + 2 y < — .
X s i n y 4

Giải
sin t 5n
Xét hàm sổ: f(t) với 0 < t <
t 4
........... t c o s t - s i n t c o s t ( t - t a n t )
r a c ó í ' t ) = - - - - 2 2 ^ - - - - = — ^ 7 ^ - - - - - - - - ^
t ^ - t ^ '

Nếu 0 < t < ^ thì do tant > t => f '(t) < 0.
2

Nếu — < t < 7Ĩ thì cost < 0 và sint > 0 => f ' ( t ) < 0.
2
' 5tĩ
Neu 71 < t < 22- thì do cost < 0; tant < t ^ f ’(t) < 0.
4

Do đó f '(t) < 0, 0 < t < “ nên f là hàm số nghich biến trên khoảng (0; ).
4 ■ 4
, .X , ^ ^ 5tx sin(x + 2y) s i n x
Từ giả thiêt có 0 < X < X + 2y < —- = > ----- < — — .
4 x + 2y X
Do X > 0 và X + 2y > 0 nên từ đó có
xsin(x -t 2y) < xsinx + 2ysinx o X. 2cos(x I- y)siny < 2ysinx
5n 5n
đpcm (vì X > 0 và X + 2y < — => y < — => siny > 0).
4 8

1 9 0