Page 181 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

1 1
tan^a tan“P
1 + tan a 1 + tan^ p
- tan^a. cos a - tan^p. cos^^p = sin a. cos^a - sin^p. cos^p

= — (sin^2a - sin^2P).

Do đó, - — < - — sin^2p < T < — sin^2a < — (đpcm).
4 4 4 4
0 1 u
Cách khác: Ta chỉ cần chứng minh - — < — — < — rôi thay y bởi -y.
2 (1 + x-)(l + y-)
Bài toán 7.50: Chứng minh bất đẳng thức với mọi X, y, z:
| x - _ y | \ V - z\
^h + Ạ + Ạ + y^ .yll + ~ Vl + x “ ,Vl +

Giải
Đặt X = tana, y = tanb, z = tanc thì bất đẳng thức
\ x - y \ \ y - z ị ^ \ x - z \
yl\ + x^ Ạ + y^ Ạ + y~ .^J\ + z^ ~ yl\ + x \ ^ h + z^

I taníỉ - tanft I 1 tanố - tanc I 1 tana - tanc I
Vl + tan^ứ.-v/l + tarfồ Vl + tan^ố.Vl + tan^c' Vl + tan“«.Vl + tan^c
<=> 1 cos « cos ồ(lan a - tan ố) I + I cos b cos c(tan ố - tan c) I
> (cos a cos c(tan a - lan c) I

«> I sin(a -b ) \ + \ sin{b - c) |>| sin(í7 - c) I.
Ta có 1 sin(a - c) 1=1 sin((<3 ~b) + (b - c)) I
= I sin(íỉ - h) cos{h - c) + sin(è - c) cos(a - b) I

< I sin(a - b) cos{h - c) I + I sin(ố - c) cos{a - h) I
< 1 sin(ữ - h) I Ị sin(ố - c) I: đpcm.
Bài toán 7.51: Cho tam giác ABC trọng tâm G. Chúng minh rằng với mọi M, ta có:
MAV MB^+ MC" > MA. GA + MB. GB + MC~GC > GA^T GBVg c I
Giải
Ta có: MA. GA + MB. GB + MC. GC

> m . c ũ + m . G Ả + M C.GÃ

= Ụ ^ + CŨ)GA + {MG + GB)GB + ilữG + G C )G C
= Ã4G{GA + GB + GC) + GA^ + GB^ + GC^ > GA^ + GB^ + G cl

180