Page 178 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Tương tự thì được
a+b a+ c a + d b+c b+ d c + d
X + _v + z + í > ----^------h ---------- 1------^------ 1------^----- 1------------I------------.
zí yí yz xí xz xy
Do đó X + y + z+ t + zl + yí + yz + xt + xz + xy

a+b a+c a+ d h+c b+d c+d 2
> — + zí + + yí + — — + yz + + X/ + —- + xz + — ^— + xy > —A.
zí yt yz xí xz xy 3
Mà ta có (x-z)^ +(x-y)^ +(x-t)^ +(y~z)^ ^ 0
3
Nên zí + vl + yz + xt + xz + xy < —(x + y + z + íÝ
8

Do đó —(x + y + z + /)“ ■+ (x + y + z + í) - ~ A >0
8 3
Bất phương trình bậc hai này theo x+y+z'^t cho nghiệm

x + y + z + / > — (Vl + /1 - l ) => đpcm.

lìài toán 7.43: Cho 4 số X, y, u, V thỏa mãn x^ + y^ = 1, = 1.
Chứng minh: |x(u - v) + y(u + v)| < V2 .
Giải
Vi x^ + y^ = 1 nèn tồn tại số a để X = cosa, y = sina
Vì = 1 nên tồn tại số b để u = cosb, y = sinb.
Do đó ta có:
|x(u - v) + y(u + v)| = ị cosa (cosb - sinb) + sina(cosb + sinb)|
= I cos(b - a) - sin( b - a) 1

= I V2 cos(b - a + — )| ^ V2 .

Vậy |x(u - v) ^ y(u + v)| < ^Í2 .

Bài toán 7.44: Chứng minh với mọi x e [-1; 0] thì 1^1 + X - ^Jĩ~- X < X.
Giải
' 7T 71
Điêu kiện: - 1 < X < 0 nên đặt X = cos2t, t e [ —, —1.
4 2
Bất đẳng thức trờ thành
Ạ + cos2t - ^J\ - cos2t < cos2t
<=> V2 I cost I - V2 I sint 1 < cos^t - sin^t

<=> V2 (cost - sint) < (cost + sint)(cost - sint)

<=> cos(t + — )(cos(t - — ) - l ) > 0 < = í > cos(t + — ) < 0 < = > — < t < — : đúng.
4 4 4 4 2

177