Page 176 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Xét ai, a2 ^ 0 từ giả thiết ta có tam thức bậc hai:
ai32X^ + 2bib2X + C1C2 có A'= {h^b^Ý ■
Ta có aix^ + 2bix + Ci > 0, Vx, và 32X“ + 2b2X -I- C2 > 0, Vx nên:
a, >0
a,aT > 0
a, >0 íaịaT >0
bf <a,Ci
A'| = b^ -^1^1 <0 1 b^b^ < a|a.,C|C2
b; < a^c^
A', = b, -a.,C2 < 0
íữ|í/2 > 0 f a > 0

{{b A Ý -(ai«2)-(<:‘i<^'2)^0 A ' < 0
=> aia2X^ + 2bib2X + C1C2 > 0, Vx: đpcm.
Bài toán 7.40: Chứng minh với mọi tam giác ABC
• A . B . c ^ ,
0
ồSĨn— sin— sin— < 1.
2 2 2
Giải

Ta có 8sin— sin— sin— < 1.
2 2 2
_ , . A , B -C B f c , ^ ,
<=> 4sin —(cos---------- cos— — ) < 1
2 2 2
, . A , B — c ■ ■ \ ^ 1
o 4sin —(cos---------- sin — ) < 1
2 2 2
2A , . B -C . A
<=> -4 sin ^^ I" 4cos . s i n < 0 .
2 2 2
A
Xem vế trái là tam thức bậc hai theo sin ^ , ta có:
2
. 2 B —c . . • 2B —c „
A = 4cos - - 4 = -4sin —^— < 0

Và hộ số -4 < 0 nên: VT = f(sin —) < 0.

Bài toán 7.41: Cho tam giác ABC. Chứng minh ràng
a^(p - b)(p - c) + b^(p - c)(p - a) I- c^(p - a)(p - b) < p^rI
Giải
Bất đẳng thức
a^(p - b)(p - c) ( b^(p - c)(p - a) c^(p - a)(p - h) < p^r I
<=> a^(p - b)(p - c) + b^(p - c)(p - a) -) c"(p - a)(p - b)
< [(p - a) t (p - b) +(p - c)l ^RI (1)

175