Page 177 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Đặt X = p - a > 0; y = p - b > 0; z = p - c > 0 thi
(!)<=> a^yz I b^zx I c^xy < (x t y t“ z)

-» 4(yz sin^A + zx sin^B t xy sin^C) < (x 't y ! z) ^
<=> x^ + 2(ycos2C f zcos2H)x t 2yz cos2A I- y^ t '/} > 0.
v ế trái là tam thức bậc hai theo X, có hộ số x“ là 1 > 0 và
A’ = (ycos2C + zcos2B)^ - (2yz cos2A ( y" + z“)
= - (y sin2C - z sin2B) ^ < 0 => đpcm.
lĩài toán 7.41: Chứng minh ràng nếu a,b,c là các số không âm, thì
2 ( a ^ + l ) ( ố ' + l ) ( f ' + ] ) > ( « + l)(ố + l ) ( c + l)(a/)c + l).

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
'ĩa có đồng nhất thúc

2 { \ - a + a~^{\-h + h~^ = \->r +(« - Ã)" + (1 -ư)^ (l - b ) ,

nên có bất đẳng thức 2^1 - c/ + í/" - ố + /)^ j > \ + a'h~
Như vậy, ta chỉ cần chửng minh bất dẳng thức

3 (l + - c + c’ ) > 2 (l + abc + cv'b'c'' j .

Bất đẳng thức này tương đương với
(3 + )c' -(3 + 2a/j + 3a'ố'-)c +1 + l>crh~ > 0 .

v ế trái là tam thức bậc hai theo biến c
3’a có hệ sổ 3 (a^b^ > 0 và A = -3(1 - ơ/))' < 0 nen được dpcm.

Đẳng thức xáy ra khi a = b = c = ì.
Bài toán 7.42: Cho 8 số dương a, b, c, d và X, y, z, t thỏa mãn điều kiện
ax + by +cz I dt xyzt.
Chứng minh

,x + _y + z+/ > “ 1 + 3yf ci + h + 3^1M+c + 3~Jh + c + 3-\[h ^ d -ị- 3'ịc -ị-cỉ ~ •

Giải

Đăt A — 3~Jơ + ố + 3'^[q + c + 3"\/h + c + 3Vố + í/ + 3Vc + ci.
Ta có a, b, c. d v à X, y, z. t dương thỏa mãn diều kiện
ax + by tcz !-dt = xyzt nên by -I cz t dt < xyzt
b c d
do dó X > — I----- 1----- .
zl yt yz

1 7 6