Page 175 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

= —(a + b + c) > —3.ịỊahc = —.
2 2 2
Bài toán 7.36: Chứng minh bất đẳng thức;
x ' + 2x^ + Ợ y + l)x^ + 2yx + y^' +1 > 0, Vx, .
Giải
Viết lại thành tam thức bậc hai theo y

x"* + 2x'^ + (2_v + l)x^ + 2yx + + 1 > 0, Vx,
<tí> + 2(x + x^)_y + x'* + 2x^ + x^' +1 > 0, Vx, Vv'

Ta có A'= (x + x^)“ - (x"* + 2x‘^ + x^ +1) = -1 < 0 và hộ số 1 >0 nên có đpcm.
Bài toán 7.37: Chứng minh bất đẳng thức:
19x' + 54y^ -í 16z" + 36xy - 16xz - 24y/, > 0 với mọi X, y, z
Giải
Ta có 19x^ + 54y^ + 16z“ + 36xy - 16xz - 24yz > 0
<=> 19x^ + 4(9y - 4z)x I- 54y" + 16z“ - 24yz
Xem vế trái là tam thức bậc hai f(x) theo biến x:
Ta có A'x = 4(9y - 4z)2 - 19(54y^ + 16z^ - 24yz) = -702y^ + 168yz - 240z^
Đặt g(y) = A'x = -702y“ + 168zy - 240z^ là tam thức bậc hai theo biến y.
Ta co; A’y = (84^ - 702. 240)z^ < 0, Vz
Suy ra g(y) < 0, Vy, Vz nên f(x) > 0, Vx, Vy, Vz: đpcm.
Bài toán 7.38: Cho 3 sổ a, b, c thoả abc = 1, a^ > 36.
_ 2
^
2
2
Chứng minh: — + b + c > ab t- bc + ca.
Giải
Ta có — + b^ + c^ > ab + bc + ca <=> — t (b + c)^ - 3bc - a(b + c) > 0

o (b + cỷ - a( b I c) (- - — 2 > 0

■ a
v ế trái là tam thức bậc hai theo b f c có: A = - 4
3a

V ìa^> 36 nên a >0 do đó A < 0. Suy ra đpcm.
Bài toán 7.39: Cho 6 số thỏa mãn:
a i x ^ + 2bix + Ci > 0, Vx, và 32X" + 2b2X t C2 > 0, Vx.
Chứng minh: aia2X^ + 2bib2X + C1C2 > 0, Vx.
Giải
Xét ai = 0 hoặc 32 = 0 thì bi “ 0, ai > 0 hoặc b2 “ 0, C2 > 0 => đpcm

1 7 4