Page 171 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

G iải
^ , a - b c ~ d rt+c a + c ^ , J 1 1 ^
T a c ó : ------ + ----“ = —^— + — ------ 2 = [ci + c) —^ ^ — - 2 .
h c d Q b c d Q \h c d ũ
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dưong thì được
____ í ______
b + c d + a [b + c) + [d + a)

^ ,, ơ - b c - d 4(úf + c)
Do đó -------1--------> ----- -------------2.
b + c d + a a + b + c + d
. . b - c d - a 4{b + d) ^
Chứng minh tương t ự ------ H------- - > ---- ^------------ 2,
c + d a + b a + b + c + d
Cộng hai bất đẳng thức này ta được bất đẳng cần chứng minh.
Bài toán 7.28: Cho a, b, c không âm.
.
í u b + c
^

Chửng minh: a‘^ + b^ t- c^ - 3abc >
2
Giải
Áp dụng bất đang thức Côsi cho a, b, c > 0
'+b^
a^ + b^ c^ > 3abc a^ + b^ + c^ - 3abc > 0
b + c
Xét - a < 0 thì BĐT đúng.
2
b + c
Xét - a > 0. Đặt b = a + 2x, c = a + 2y

rb + c
a'* + b^ + c^ - 3abc a
V 2
= a^ + (a -t 2x)^ + (a +2y)^ - 3a(a+2x)(a+2y) - (x + y)^
= 12a(x" - xy ^ y^) + 6(x + y)(x - y)^
,9 3(^b + c
> 6(x + y)(x - y)^ = ^1 - a (b - c)^ > 0 => đpcm.

Bài toán 7.29: Chứng minh với X, y , z dương thì
2-v/x 2 J ỹ 2-J~z 1 1 1
7 '
7i 2 ■+ . , + 3 9 - 2 + 2 + 2
3
y y ' + ^ ^ ^ X y z
Giải
2-v/x 1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: x^ + y^ > 2 ■\jx^y^ = 2xy4x ■
+y~^ xy

170