Page 174 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Giải
Ta có a, b, c là các sổ dưong và a -( b -f c = 3 nôn

1 7
ab H bc + ca < — (a + b f c r < 3.
3
rp , _ , , . , ữ + 1 h -^\ C' + 1
1 a sẽ chửng minh —r—- + —-—— + \ > 3 .
c ' + l
5 a + 1 , {a + \)h^ , ( < 7 + l ) ỗ ^ ' b ah ,
/ 7 “ + l +\ 2h 2 2
ố + 1 , £■ ốc , c + 1 a ca ,
Iương tự — — > h - - ----- - +1; — “ > c - ^ ^ +1.
c ’ +1 2 2 +\ 2 2
Cộng lại 3 bất đẳng thức thì được
í 7 + l Ố + 1 C + 1
+ - - - - - ị- —r — > (a + b + c - ab - hc - ca) — + 3 > 3 .
b ~ + \ C' + 1 cr" + 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b c -1.
Bài toán 7.35: Cho 3 số dương X, y, z thoả xyz = 1.
1 1 1 3
Chửng minh: —Ị---------- 1— ;---------- 1- ^------> —.
x (y + z) y ( z + x ) z (x + y) 2

Giải

Đặta = —,b = — , c = = —thì a, b, c > 0, abc = 1.
X y z
1 1 1
d'a có
—ĩ— ---------^— ĩ— ^--------- '— ĩ— ^--------
X { y + z ) y ( z + x ) z ' { x + v )
b^ ,3
■ + ■ nên
1 1 1 1 b + c c+ a a + b
- + - ■ f ■ + --
b c c a a b
ỉ. 2
a 2 b c ĩ ^ 3 7
Bất đẳng thức tương đương ------- 1--------- 1--------^ —.
b + c c + a a + h 2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương:
a" b + c a ' b + c
------ + —- - > a =>------- '> a --
b + c 4 b + c

_ .. b ' ^ , c + a a + b
Tương t ự ------ > b - ———, > c --
c + a a + b 4
h^- a + b 4- c
Nên • + - > a -t- b 4' c -
h + c c + a a + h

1 7 3