Page 179 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bài toán 7.45: Chứng minh bất đẳng thức: 2 V2 < V4 + X + V 4 - X < 4, Vx e [-4, 4].
Giải
Điều kiện I X I < 4 nên đặt X = 4cos2t. 0 < 2t < Tt.

Do đó V4 + X + V4 - X = -^J4{\ + cos2/) + 1^4(1 - cos2/)

= 2 -\/2cos“ / + 2V2 S1ĨV / = 2^2 (cost -t sint) = 4sin(t t —) do 0 < t < ^ .
4 2
71 71 71 3tC
Vì 0 < 2t < 71 0 < t < => — < t f
4 4 4
4 2 Tĩ
< sin(t 4— ) < 1 => đpcm.

Bài toán 7.46: Cho hai sô a và b thỏa mãn a 4 b = 1. Chứng minh:

20a^- 15a + 36b-48b^< 13.
Giai
Vì a^ 4 - b^ = 1 nên tồn tại số X sao cho: a == cosx, b = sinx
Do đó ta có: 20a" - 15a + 36b - 48b'’ = 20a^ - 15a + 36b - 48b"
= 5(4a-’ -3 a ) + 12(3b-4b^)
/ \
ì
12 . ,
= 5cos3x 4- 12sin3x = 13 — cos3x 4---- Sin3x
13 13

4 0 - Í h ,
ị. • Ẩ , _ 5 „ _ 12
nên tôn tại sô y sao cho; siny = — , cosy = — .
13 13
Do đó: 20a^ - 15a + 36b - 48b^ = 13(siny cos3x 4- cosysin3x)
= 13sin(y 4- 3x) < 1 3 .
Vậy 20a" - 15a 4 36b - 48b‘^ < 1 3 .
Bài toán 7.47: Chứng minh bất đẳng thức

4 ( ự ( l - x - ) ' - x ’ ) 4 - 3 ( x - V i - x - ) < 4 2 .

Giải

Điều kiện - 1 < X < 1 ncn đặt X = sint với t e I - ^ ; ^1.
2 2
Do đó 4 ( Ậ \ - x - ý - X-') + 3(x - V l - x ^ )

4(-y/Õ'-sin'/)^ - sin'^ í) 4- 3{sin/ - -v/l -sin^ /)

178