Page 182 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Theo bất đắng thức Côsi: 2MA. GA < MA“ + GA^;
2MB. GB < MB- + GB^ 2MC. GC < MC^ + GC^
=> 2(MA. GA -+ MB. GB + MC. GC)
< MA^ I M B - 4 MC^ + GA^ + GB^ + GC^
nên MA^+ MB^ + MC^ - (MA. GA + MB. GB + MC. GC)
> (MA. GA 4 MB. GB + MC. GC)- (GA^ + GB" + GC^ ) > 0
Suy ra: MA^+ MB^ + MC" > MA. GA 4 MB. GB + MC. GC.
Vậy MA-+ MB^ f MC^ > MA. GA I MB. GB 4 MC. GC

>GA^4 GB^4 GC-
Bài toán 7.52: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh
với mọi điểm M thì; a. MA^ 4- b. MB^ 4 c. MC^ > abc.
Giải

Ta có: (a. ^ + b. MB 4- c. MC)^ > 0
=> a'MA^ + b^MB^ 4- c^MC^ + 2ab. NTÍ\. ĩvĨB

4 2bcĩvĨB. MC +2ca. MC. ^ >0
^ a^MA^ 4 b l MB^ + c l MC^ + ab(MA^ 4 MB^ - AB^)
4 bc(MB^ + MC^ - BC^) + ca(MC^ 4 MA^ - CA^) > 0
a(a + b 4 c)MA^ + b(a 4- b 4- c)MB"
4 c(a I b 4 c)MC^ > abc^ 4 bca^ + cab^

=> (a 4- b 4 c)(aMA^ 4- bMB^ 4- cMC“) > abc(a + b 4- c)
aMA^ + bMB^ 4 cMC^ > abc
Dấu đẳng thức xảy ra o a MA 4- b MB 4^ c MC = 0

<=> M là tâm đường tròn nội tiếp lam giác.
Bài toán 7.53: Chímg minh rằng với mọi X, y ta c ó
yj4coÌ x.co.<r y + sin"(x - y) 4^ -y^4sin'x.sin^y 4- sin"(x - y) > 2.

Giỏi '
Dặt a = 2cosx. cosy; b = sin(x - y); c == 2sinx. siny; d =sin(x - y).
thì: (a + c)^= 4cos^ (x - y); (b 4- d) ^ = 4sin^ (x - y).
Do đó (a + c)^4 (b 4 d) ^ = 4cos^ (x - y) 4- 4sin^ (x - y) = 4.
Bất đẳng thức đề bài

^ c o í x.coíTy 4- sin‘(x - y) + -y/4sin^x.rin"y 4- sin"(x - y) >2.

o -Ja" 4- b" + -^c" 4- d" > -^(a 4- c)" + (b 4- d)" .

Trong mặt phang loạ độ Oxy chọn ti{a;b), v{c\d)

181