Page 167 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

V ' 1 ^
\ + ah + hc + ca yỊĩt + 4Ĩ) ^ 4c +'Ịd

__ 1 yỊã
I ương tự ---------------- -----------------< — ị= --------- --------= ,
1 + bc + C(ỉ 4- dú \ịCì ^ b \Jc y]cỉ

1 ^ yíh
\ + cd + da + ac \ [ ã + 4h + 4c + yfd ’

______ Ị______ ^ _______ ỵỊc________
\ + da + ab + bd \ f ã + y[b + yjc + y/d
Cộng các bất đang thức này ta nhận được kết quả cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = \.
Bài toán 7.19: Chứng minh với mọi số dương X, y, z:
y + z z + x x + y ^
X + ^4(y^ + z 4 y + ^4(z^ + x 4 z + ^4(x^ + y 4

Giải
Ta có 4(x^ ^ y^) - (x t y)^ = 3(x + y)(x - y)^ >0 (vì X, y > 0)

Suy ra: z + ỉ/4(x'^ + y4 > z + X + y nên có: ------ ............... _ < ^ y—
z + ự 4 (x ^ + y 4 x + y + z

Tương tự ta có;
y + z ^ y + z z+ x z+ x
x + ^ 4 (y ^ + z4 x + y + z ’ y + ự 4(z^+ x 4 x + y + z

Cộng vế theo vế thì
y + z z + x x + y
X + ịj4{y^ + y + +X'4 z + ịj4(x^ + t 4

x + v
y + z
z + x
---------- ^---------- ------------
< --------—— -I-------—---- 1-------^----- = 2 => đpcm.
x + v + z y-\- z x-h y + z
Bài toán 7.20: Chứng minh ràng nếu a,b,c,d là các số thực dương, thì
^ a \" ( b ^ f c Ỵ ( d \
+ > 1.
\ a ^ b j \ h + c j \ c + d y \ d + a J
Giải

^ ^ d . « , , . X , , ,
Đăt x = —,y = —,z = — và / = —thì x,y,z,í là các sô dương và có xyzl
a h c d
Bất đẳng thức tương đương

166