Page 162 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bài toán 7.8: Cho X, y, 7. dương và x(x + y + z) = 3yz. Chứng minh:
z)(z - x) < 5(y + z)^.
(x + y)^ + (x -t- z)^ ^ 3(x + y)(y + z)(z +
Giải
Đặt c = X + y, a = y + z, b =z + X
thì a, b, c > 0 và a +b -1 c = 2(x 4-y t- z)
ò + c -ư c + a - b a + b - c
và x = ---- ^-----;y = -----------,z = ——— -
2 2 2
Do đó x(x + y + z) = 3yz a^ = b^ + - bc.

Ta có: a^ = b^ + - bc > 2bc - bc = bc.
Vàa^ = b“ f - bc = (b^c)^-3bc>(b Ic)"- — (b-Ic)^ = — (b')-c)"ncnb+ c < 2a.
4 4
Do dó (x + y)'^ + (x I- zÝ + 3(x + y)(y + z)(z + x) < 5(y + tÝ
<=> + b^ I 3abc < 5a^ <=> (c t b)(c^ - cb "t b^) + 3abc < 5a^
<=> (c + b)c^ + 3abc < 5a^ <íí> (c + b)c + 3cb < 5a^
<=> c(c + b - 2a) + 3(cb - a^) < 0; Dứng.
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi a = b ^ c <IÍ> x= y =z.
Cách khác; biến đổi a^ + b^ + 3abc < 5c^
<=í> (a + b)(a^ + b^ - ab) 4 3abc < 5c^
<=> (a + b)c" + 3abc < 5c^ <íí> (a + b)c + 3ab < 5c^.
Hay từ giả thiết X, y, z dương và x(x + y + z) = 3yz
y z V z ' y z
thi có 1 + — + — = 3 — .— rôi đặt u = —,v = — ,t = u + v > 0 .
X X X X ' X X
Bài toán 7.9: Chửng minh rằng nếu a.b,c là các số không âm, thì

(a ' -bc^yỊh + c + (ố" -ca^yịc + a -ah^yỊa + b >0.

Dấu đăng thức xáy ra khi nào?
Giải
Vì a,h,c là các số không âm nên đặt:
b + c = 2x^,c + a = 2y~ và a+ ồ = 2z" (x > 0,y > 0,z > o)

Ta nhận được kết quả: a = -x^ + y ~ + z^',h = x~ - + z^',c = x^ + - z~.
Bất đẳng thức: ị^a~ - bc^yỊh + c +{b^ -c a ^ ^ c + a +[c^ -a b ^ ^ a + b > 0

'ĩương đương với bât đăng thức
xy{x^ +y^) + yz(y^ +z^) + zx(z'^ +x^)
2 „ 2 ,
.2 _2
> x^y^(x+ v) + y^z'{v + z) + zCr'(z + x)

1 6 1