Page 157 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Giải

Bất đẳng thức — > — tương dưong
íỉV l ố ^ + l^ c ' + l " 2

+b~ + + 3> a^b~ + h~c^ + c~a^ + 3a"h~c^.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dưong thì dược
(a + ố + c)(aổ + bc + ca) > 9 a h c ,
Mà ab + bc + ca = 3 nôn a + h + c > 3abc .
Do đó, ta chi cần chímg m i n h rằng
+ ố“ + C'^ + 3 > a~b' +b^c~ +c^'a^ + a h c [ a + h + c ) .

Bất đẳng thức này tương đưoTig với bất dẳng thức
( a h + bc + ca){a^ +b" + c") + {ab + hc + caÝ

> 3 ( a ^ h ~ + b " c ~ + c^a^) + 3ahc{a + h + c)
■» ahị^a~ +b~^ + bcịb'^ + c " j + caỊc" + c r ^ > 2 ị a ^ b ^ +Ố'C" + 6 ' ^ a “ j ,

■» a h [ a - b Ỷ + b c [ h - c f + c a ị c - u Ỵ > 0 ,

Điều này hiến nhiên đúng.
Đẳng thức xảy ra khi (í/,ồ,c) = (1,1,1) hoặc (í/,/),c) = Ịo,^/3,^/3 j.

Bài toán 6.55: Cho các số a. b. c > 1 và a 4 b + c +- 2 = abc.

Chứng minh + c a ^ J b ^ -1 + < - — a h c .

Giải
Ta có a, b, c >1 và a I b t c + 2 = abc nôn
1 1 1 2
a b b c c a a h c
Áp dụng các bất đẳng thức:
1 1 1 1 1 1 0 í x ] IN’
— + — + — < — + -
— + —
a h b c c a 3 V a h c J
1 1 1 1 2 3
t = + - + - thì r
a b c ỏ 27

Do đó 2t‘^ + 9t^ - 27 > 0 nên (2t-3)(t+3)^ > 0, vậy t > — .

, hc^la^' -1 + cayfh^' - 1 + ab-\Ịc^ - 1 1
Nên ta có
a h c M - 7 -

156