Page 157 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức
P. 157

Giải

            Bất đẳng thức  —                   >   —  tương dưong
                          íỉV l  ố ^ + l^ c ' + l  "  2

                 +b~ +    + 3> a^b~ + h~c^ + c~a^ + 3a"h~c^.
           Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dưong thì dược
               (a + ố + c)(aổ + bc + ca) > 9 a h c ,
           Mà  ab + bc + ca = 3  nôn  a + h + c >  3abc .
           Do đó, ta chi cần chímg m i n h  rằng
                  + ố“ + C'^ + 3 > a~b' +b^c~ +c^'a^ + a h c [ a  + h + c ) .

            Bất đẳng thức này tương đưoTig với bất dẳng thức
              ( a h  + bc + ca){a^ +b"  + c") + {ab + hc + caÝ

                    > 3 ( a ^ h ~   + b " c ~  + c^a^) + 3ahc{a + h + c)
              ■»  ahị^a~ +b~^ + bcịb'^ + c " j  + caỊc" + c r ^ > 2 ị a ^ b ^  +Ố'C" + 6 ' ^ a “ j ,

              ■»  a h [ a - b Ỷ   + b c [ h - c f   + c a ị c - u Ỵ  > 0 ,

           Điều này hiến nhiên đúng.
           Đẳng thức xảy ra khi  (í/,ồ,c) = (1,1,1)  hoặc  (í/,/),c) = Ịo,^/3,^/3 j.

         Bài toán 6.55: Cho các số a. b. c  > 1  và a 4  b +  c +- 2   = abc.

           Chứng minh             + c a ^ J b ^  -1 +    < - — a h c   .


                                              Giải
            Ta có a, b, c  >1  và a  I  b  t  c + 2 = abc nôn
                 1   1   1   2
                a b    b c    c a    a h c
           Áp dụng các bất đẳng thức:
                 1    1    1    1 1   1   0             í x    ]   IN’
                —  +  —  + — < — + -
                                  — + —
                a h  b c  c a  3 V a  h    c   J
                   1   1   1     1     2   3
                t   =  + - + -  thì  r
                   a   b   c     ỏ     27

           Do đó 2t‘^ + 9t^ -  27  >  0 nên (2t-3)(t+3)^  >  0, vậy t  >  — .

                    ,  hc^la^' -1 + cayfh^' - 1 + ab-\Ịc^ - 1  1
           Nên ta có
                                    a h c                              M    - 7 -


         156
   152   153   154   155   156   157   158   159   160   161   162