Page 154 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

x '
Bài toán 6.46: Chứng minh: sinx > X - , Vx > 0.

Giải

Bât đăng thức tương đương: X - —- - sinx < 0, Vx > 0
6

Xét f(x) = X - — - sinx thì f liên tuc trên [0; +co)
6

f ' ( x ) = 1 - — cosx; f "(x) = -X + sinx

f'"(x) - -1 + cosx < 0 nên f " nghịch biến trên [0; -t-co):
X > 0 => f "(x) < f "(0) = 0 nên f ' nghịch biến trôn [0; t co):
X > 0 =í> f ’(x) < f ‘(0) = 0 ncn f nghịch biến trên [0; +oo):
X > 0 => f (x) < f (0) = 0 => đpcm.

Bài toán 6.47: Chứng minh các bất đẳng thức với mọi X e (0; —):

a) tanx > X b ) lanx > X

Giải
' 71
a) Hàm sô f(x) = tanx - X liên tục trên nửa khoảng [0; —)

1 71
và có đạo hàm f ' ( x ) = — - — > 0 v ớ i m ọ i X e ( 0 ; — ) .
c o s X
' ' ' 7T
Do đó hàm sô f đông biên trôn nửa khoảng [0; —)

71
nên f(x) > 11(0) = 0 với mọi X e (0; —).

b) Hàm số f(x) = tanx - X - — liôn tục trên nửa khoảng [0; —)
3 2
1 . 7 7 2
và có đạo hàm f '(x) —;-----1 - X = tan X - X
c o s X
Tí
= (tanx + x)(tanx - x) > 0 với mọi X e (0; —) (suy ra từ a).

' ' ' 71
Do đó, hàm sô f đông biên trên nửa khoảng [0; —) và ta có

71
f(x) > f(0) = 0 với mọi X e (0; —) => đpcm.

153