Page 155 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

4x n
Bài toán 6.48: Chímg minh: tanx < — , Vx e 0;
n
Giải
Nếu X = 0 thì BĐT đúng.

Ncu X > 0 thì BĐT <=> ,Vx e 0;^
X 71 V

tan X n
Xét f(x) = , V x e 0 ;

■ tan X
COS“ X x - s i n x c o s x _ 2 x - s i n 2 x
f'(x)
x “ c o s ‘ x 2x^cos^x

Vì 0 < X < — nên 0 < 2x < —
4 2
f n
= > sin 2x < 2x do đó f '(x) > 0 nên f đông biôn trôn 0;—
V 4_
suy ra f(x) < f( —) = —=> đpcm.
4 71
Bài toán 6.49: Giã sử a,h,c,d là các số thực dương sao cho a + b + c + d = \ .

Chứng minh rằng 6Ì^ử' + + d^^> a~ + h~ + c^' + d ' .
8
Giải
Xét hàm số / ' ( x ) - 6 x ^ - x “ , t a c ó / ' ( x ) = 1 8 x ‘ - 2 x

( 1 ( 1 o y
Phương trình tiêp tuyên của V = / (x) tại diêm —, / là
u ^4y^

1 u _ 5 1
y X---- + — hay y = - X - - .
V 4, 32 8 8
2
Khi đó, với x > 0 ta có: / ( x ) - — X- = 6 í 0 í x + - n > 0
' 8 . l 4 j l 3J

Nên có bất đẳng thức 6x^ - x^ > — X — với moi X >0.
8 8
Áp dụng với a,h,c,d >0 và a + ố + c + í/ = 1, ta có

+h^ +c'^ + d ^ ^ - ị a ^ + b ^ + c ~ j > — ( a + ò + c + í/) — — = —
8 8 8

Do đó điều khẳng định được chứng minh.

154