Page 155 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức
P. 155

4x            n
         Bài toán 6.48: Chímg minh: tanx <  — ,  Vx e  0;
                                            n
                                              Giải
            Nếu X = 0 thì BĐT đúng.

            Ncu X > 0 thì BĐT  <=>         ,Vx e  0;^
                                   X     71      V

                      tan X            n
            Xét f(x) =        , V  x e   0 ;


                               ■ tan X
                        COS“ X          x - s i n x c o s x   _   2 x - s i n 2 x
                f'(x)
                                          x “ c o s ‘ x    2x^cos^x

            Vì 0 < X <  — nên 0 < 2x <  —
                       4              2
                                                               f   n
              = >  sin 2x < 2x do đó f '(x) > 0 nên f đông biôn trôn  0;—
                                                               V  4_
            suy ra f(x) < f( —) =  —=> đpcm.
                          4     71
         Bài  toán  6.49:  Giã  sử  a,h,c,d  là  các  số  thực  dương  sao  cho  a + b + c + d = \ .

            Chứng minh rằng  6Ì^ử' +      + d^^> a~ + h~ + c^' + d '   .
                                                                   8
                                              Giải
            Xét hàm số  / ' ( x )   -   6 x ^ - x “ ,   t a   c ó   /   ' ( x )   =   1 8 x ‘ - 2 x

                                                          ( 1 ( 1  o y
            Phương trình tiêp tuyên của  V = /  (x)  tại diêm  —, /   là
                                                          u     ^4y^

                                 1  u     _ 5     1
                  y     X---- + —   hay  y = -  X -  - .
                       V    4,   32         8    8
                                                               2
            Khi đó, với  x > 0   ta có:  /  ( x ) -  — X-  =   6  í    0  í   x   +   -  n  > 0
                                                ' 8 .   l    4 j  l    3J

            Nên có bất đẳng thức  6x^ -  x^ > — X —   với moi X >0.
                                           8    8
            Áp dụng với  a,h,c,d >0  và  a + ố + c + í/ = 1, ta có

                    +h^ +c'^ + d ^ ^ - ị a ^   + b ^   + c ~    j > — ( a  + ò + c + í/) — —  = —
                                                       8                8   8

            Do đó điều khẳng định được chứng minh.

         154
   150   151   152   153   154   155   156   157   158   159   160