Page 160 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bài toán 7.3: Cho a, b, c. d > 0. Chứng minh ràng:

(í/ h c í/) 2
A{ab + ac + ad + hc + bd + cd 3
Giải
_ ^ + /? + c + d') * 2
Vi a, b, c, d > 0 nên la c ó ------------------ — --------------- > —
4{ab + ac + ad + bc + bd + cd 3

<=> 3(a + b t c 'I d)" > 8(ab 1 ac 4' ad I bc -t' bd 1 d)
« (a - b)^ + (a - CÝ + (a - d)^ + (b - c)^+ (b - d)^ + (c - d)^> 0
Vậy bất đẳng thức đúng.
Bài toán 7.4: Chứng minh bất đẳng thức với mọi X, y, 7, > 0:
(x + y -t- z) (x^ y“ + 7") < 3(x^ + + z^)-
Giải

Ta có (x + y + z) (x^ + y^ + 7^) < 3(x^ + + z^)-
<=í> 2(x^ + y^ + 7^) - x^(y + 7) - y^(7 + x) - 7^(x -I- y) > 0
<» x^(x - y) + x^(x - 7)+y^(y -z)+ y^(y - x)+7 ^ ( 7 - x)+2?(z - y) > 0
« (x - y) (x- - y-) 4- (y - z) (y^ - z^) 4 (z - x) - x^) > 0
<=> (x 4- y) (x - y)^ 4- (y + z) (y - z ỷ + (z 4- x) (z - x)^ > 0
Đúng vì X, y, z > 0.

Bài toán 7.5: Cho 3 số dương a, b, c Ihoả: 4- -|=r 4- = 1
Va Vb Vc

Chứng minh bất đẳng thức: ab 4 bc 4 ca > .

Đãng thức xảy ra khi nào?
Giải

Từ giả thiết thì: V ^ 4- V cã4- Vãb = Vabc nôn ta có:
abc
ab 4- bc 4 ca > <» 3(ab 4 bc + ca) > (Vãb 4-Vbc 4-Vca)^

o 2(ab + bc 4- ca) > 2(Va^bc 4- Vab^c 4- Vabc^)
<» a(Vb - Vc)' 4- b(Vc - yíãý 4- c(V ã- ^ỉhÝ > 0: Đúng.

Dấu = khi a = b = c = 9
Bài toán 7.6: Cho X, y e [0, 1]. Chứng minh bất đẳng thức
1 1 2
Vl 4- x~ Ạ 4- y~ xy

159