Page 163 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Vì +>’^)-x^j/’^(x + _)^) = x>’(x + _y)(x-y)^ nên bất đẳng ứiức tvrơng đương

xy(x + y )( x -y ỹ + yz(y + z )(y -z y +zx(z + x )(z-x )" > 0 .

Điều này hiển nhiên đúng.
Với a > b > c , đẳng thức xảy ra khi
hoặc (a,ố,c) = (1,1,1) hoặc (ư,ố,c) = (1,0,0).

Bài toán 7.10: Chứng minh rằng nếu a,b,c là các sổ thực, thì
2(l + aồc) + ^2 (l + a^)(l + ồ^)[l + c ') > (l + a)(l + è)(l + c ) .

Giải
Dùng phép thế u = a + b +c,v ơb + bc+ ca và w = abc.

Bất đẳng thức: 2(l + a/bc) + .,j2(l + a-)(l + ồ^)(l + c^') > (l + a)(l + ố)(l + c)

Cí> Ip' +v^ +w^ -2 w u -2 v + lj >M + V -W -1.

Ta chỉ cần chứng minh: 2^u^ + v“ +w^' - 2w u-2v + \^ >ịu + v - w - \ ý .

Thật vậy 2 ị u ~ + v ^ + w ^ -2vt'u-2v + l^ > (w + V - w - l ) ^

<=> + w^ - 2uv + 2vw - 2wu + 2w - 2v - 2w +1 > 0,
<=> (w -v -w + l)^ > 0 : đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi ỉ/ - V - w +1 = 0 và w -f V - w - 1 > 0 .
Bài toán 7.11: Cho a,b,c là các số dương sao cho abc = 1.
Chứng minh bất đẳng thức
1 1 1 1 1 1
----------- 1-------------1----------- < -------- 1---------1------- _
1 + Í7 + Ồ 1 + ổ + c' 1 + c + íỉ 2 + ũ 2 + b 2 + c‘
Giải
Đặt x = a + b + c và y = ah + bc + c a . Bất đẳng thức

1 1 1 ^ 1 1 1
- + ---- ----- + ---------- + — + .
\+a+b \+b+c 1 + c+ a 2+a 2+b 2+c
3 + 4x + _y + x 12 + 4x + y
2x + y + x^ + xy 9 + 4x + 2 V ’

<=> 3x^>' + xy^' + 6xy - 5x^ - y ^ - 24x - 3y - 27 > 0,
o (3x^;^-5x^ -12x] + (xy^ -y " -3 x -3 y ) + (6x>’-9 x -2 7 ) > 0,

Điều này hiển nhiên đúng bởi vì X, y > 3.

162