Page 161 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Giái
Bất đẳng thức tương đương:
1 1 2 4
---—— H--------— H ------- . < -------
1 + x 1 + J/' ^Ị\ + x-^|ỉ + y- ^ +
Ta có X. y e [0, 1] nôn
2 2
- < ----------<=í> Vl + x ’ .Ạ + > 1 + XV.
■J\+ .^Ịỉ + y 1 + xy
<=> (1 +x“)(l +y^) > (1 +xy)^ <=> (x - y)^ > 0; đúng.
1 1 2
Như vây ta chỉ cân cliímg m inh------- +------ - < -------
1 + x l + T l + x_v

... 1 1 ^ 2
1 hạt vậy -----------------< ----------
1 + x l + y^ 1 + xy
1 1 1 1
— ^ - - - - - - - - - 1 — > — : - - - - - - - - - - - —
1 + xv 1 + x^ 1 + xv l + >'^

( I - x j) ( x - y ) '
C í > — > 0 đúng vì X, y thuộc |0, 1].
(l + xy)(l + x ) ( l + y ')

Bài toán 7.7: Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức

a ^ + ồ " + c “ Sabc
ơh + bc + ca (« + h){b + c)(c 4- a)
Giải
Ta sử dụng đánh giá trung gian với giả sử a = min{a, b, c}.
+b^+c-
Vi a, b, c > 0 nên • > 1 do đó
ab + hc 4- ca
1 / 7 2 2 7 7 2 7 ^ 2 j 7 2
a 4"ố” + c a 4 " ồ " 4 -c 4'rt 2ư 4 -è 4“c
ab + bc + ca ab + bc + ca + a~ {a + b)(a + c)
Như vậy ta chỉ cần chứng minh
2ír4-ổ^4-c" 8ưốr
------- --------- 4------------—------------ > 2 .
(ữ4-^)(a4-c) {a + b){b + c){c + a)

, 2a^ +h^' +c~ Sabc ^ ,
1 hât v a y ------------------H----------------------------> 2
{a + b){a 4- c) (ữ + h){b 4- c)(c 4- a)
<íí> (b+c)(2a^+b^-t-c^) + 8abc > 2(a+b)(b+c)(c+a)

o (b-c)^(b+c-2a) > 0: đúng.

160