Page 156 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bài toán 6.50: Chứng minh với mọi X thi có: IX -t- 11 -t I X - 5 i >6.
Giải
Ta có IX + 11 f IX - 5 1 = IX + 11 + 15 - X1 > I (x -f' 1) 4' (5 - x) I =6.
Vậy IX t 11 -t- I X - 5 1 >6.

Bài toán 6.51: Chúng minh với mọi X thì có: |x + 1| + |x + 2| + |x + 7| + Ịx + 8| > 12
Giải
Ta có X 1 =0, X 4- 2 =0, X +3 ==0, X + 4 =0 có các nghiệm tăng dần là
X = -4, X = —3, X = -2, X = - 1 .
'ĩa ghép cặp tưong ứng theo 2 biên ngoài trước, và cặp sau là 2 biểu thức còn lại:
|x + 1| + |x + 2| + |x + 7| + |x -4 8| = (|x + 1| + Ịx + 8|) + (|x + 2| + |x + 7|)

= (|x + 1| + 1- X - 8|) + (|x + 2| + 1- X - 7|)

>|x + l - x -8 | + |x + 2 - x -7 | = 7 + 5 = 12
Dấu bằng chi xảy ra khi và chi khi; - 7 < X < -2 .
Bài toán 6.52: Chúng minh bất dẳng thức:
X VxTĨ + ^ 2-\/x^~^, Vxe[-1,3].

Giải
Ta có (xVx + 1 + lV 3-x| <(x^ +l)(x+l+3-x) = 4{x^ +1)

l x V x + 1 + V ^ x <2-Jx~+ì => x^^x + ì-lt^Í3^x<2^|x^ +\ => đpcm.

Bài toán 6.53: Chửng minh rằng nếu a, b, c và X, y, z là các số thực thì:
4^«^ +x^ + y ^ ^ ị c ~ + z ^ ' ^ > 3 [ b c x + cay + abzỹ’' .

Giải

Ta có +x^ + ò z ) ^ j > [a(cy+ fe) + ốcx] .

Như vậy, ta chỉ cần chúng tỏ rằng 4 (ố" + y '~) ^ + z'' ^ > 3 (cv + hzy + h^c' .

Bất đăng thức này đưa về
[cy - bzý + {pc - 2 vz)^ > 0: điều này hiển nhiên đúng.

Trong trường hơp abc + 0, đắng thức đúng khi — =
a h c 2
Bài toán 6.54: Giả sử a,h,c là các số thực không âm sao cho ab + bc + ca = 3.
1 1 3
Chúng minh rằng - + — ------ + - r - ------- > ■
a^+\ b^ +\ c^+1 2 ■
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

155