Page 156 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức
P. 156

Bài toán 6.50: Chứng minh với mọi X thi có:  IX -t- 11  -t  I X - 5 i  >6.
                                        Giải
      Ta có  IX +  11  f  IX - 5 1  = IX + 11  +  15 - X1  >  I (x -f'  1) 4' (5 - x) I  =6.
      Vậy  IX  t  11  -t-  I X  -  5 1  >6.

   Bài toán 6.51:  Chúng minh với mọi X thì có:  |x + 1| + |x + 2| + |x + 7| + Ịx + 8| > 12
                                        Giải
      Ta có X   1  =0, X 4- 2 =0, X +3 ==0, X + 4 =0 có các nghiệm tăng dần là
            X = -4, X =  —3, X = -2, X =  - 1 .
      'ĩa ghép cặp tưong ứng theo 2 biên ngoài trước, và cặp sau là 2 biểu thức còn lại:
         |x + 1| + |x + 2| + |x + 7| + |x -4  8| = (|x + 1| + Ịx + 8|) + (|x + 2| + |x + 7|)

         = (|x + 1| + 1- X -  8|) + (|x + 2| + 1- X -  7|)

         >|x + l -  x -8 | + |x + 2 -  x -7 | = 7 + 5 = 12
      Dấu bằng chi xảy ra khi và chi khi;  -  7 < X < -2 .
   Bài toán 6.52:  Chúng minh bất dẳng thức:
            X VxTĨ +        ^ 2-\/x^~^,  Vxe[-1,3].

                                        Giải
      Ta có  (xVx + 1 + lV 3-x|  <(x^ +l)(x+l+3-x) = 4{x^ +1)

         l x V x  + 1 + V  ^ x   <2-Jx~+ì  =>  x^^x + ì-lt^Í3^x<2^|x^ +\  => đpcm.

   Bài toán 6.53: Chửng minh rằng nếu a, b, c và X, y, z là các số thực thì:
            4^«^ +x^     + y ^ ^ ị c ~   +   z ^ ' ^ > 3 [ b c x  + cay + abzỹ’' .

                                        Giải

      Ta có     +x^      + ò z ) ^ j  > [a(cy+  fe) + ốcx]  .

      Như vậy, ta chỉ cần chúng tỏ rằng  4 (ố" + y '~)  ^ + z'' ^ > 3  (cv + hzy + h^c'  .

      Bất đăng thức này đưa về
          [cy -  bzý + {pc -  2 vz)^ > 0: điều này hiển nhiên đúng.


      Trong trường hơp  abc + 0, đắng thức đúng khi  — =
                                                    a   h   c    2
   Bài  toán  6.54:  Giả  sử  a,h,c  là các  số  thực  không  âm  sao  cho  ab + bc + ca = 3.
                                  1      1 3
      Chúng minh rằng        - +   —  ------ +   - r - ------- > ■
                        a^+\  b^ +\  c^+1      2  ■
      Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?


                                                                              155
   151   152   153   154   155   156   157   158   159   160   161