Page 153 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức
P. 153
Bảng biến thiên
Vậy: -1 < y < Vĩõ nên suy ra đpcm.
Bài toán 6.44: ChÚTig minh các bất đẳng thức sau:
s i n x < X v ớ i m ọ i X > 0; s i n x > X v ớ i m ọ i X < 0.
Giải
71
Với X > - r thì X > 1 nên sinx < 1 < X.
2
71 ' 71
V ớ i 0 < X < — thì hàm sô f(x) = X - sinx liên tục trên nửa khoảng [0; — )
71
và f'(x) = 1 - cosx > 0 với mọi x e (0; —).
Do đó hàm sổ đồng biến trên [0; —) nên f(x) > f(0) = 0 với mọi X e (0; —).
Với < X < 0, giải tương tự thì f(x) < f(0) = 0.
71
Với X < - th ì X < -1 n ê n s i n x > -1 > X ^ đ p c m .
2
Bài toán 6.45: ChCmg minh: cosx > 1 - — với mọi
Giải
2
Với X > 0 thì hàm số g(x) = cosx + - — 1
liên tục trên nửa khoảng [0; +Q0) v à g'(x) = X - sinx.
Mà sinx < X với mọi X > 0 nên g'(x) > 0 với mọi X > 0.
Do đó hàm số g đồng biến trên [0; +oo) nên:
g(x) > g(0) = 0 với mọi X > 0 => cosx + -^— 1 > 0 với mọi X > 0.
(-x)^
Suy ra với mọi X < 0 ta có cos(-x) + 1 > 0
152
