Page 148 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Va" -1 + >/3 t a n t + V 3 _ . / r n
- - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - - - - - - - = s i n t + v 3 c o s t = 2 . s i n t + - < 2 => đpcm.
a 1
cost
Bài toán 6.30: Chứng minh bất đẳng thức| 1 + xy |< Vl + -Vl + ,\fx,\/y

Giải
Đặt X = tanu, y = tanv thì bất đẳng thức

11 + xy |< VTVx^.VĨ"+>^ < » 1 1 + tanu.tanV |< ^
COSM cosv
<» |cosu. cosv + sinu. sinv| <1 <íí> |cos(u-v)|< l ; đ ú n g .

Vậy 1 1 + xy |< Vr+^.VĨV^>^, Vx, Vv .
Bài toán 6.31: Cho tứ giác lôi ABCD. Ch
li toán 6.31: Cho tứ giác lồi ABCD. Chửng minh:
AC^ + BD^ < AD^ + BC^ + 2AB. CD.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
Ta có: AC^ + BD^ < AD^ + BC^ + 2AB. CD

» ÃC^- ÃD^+ BD^- BC^<2AB. CD

» ( Ă c - ÃD XÃC. + ÃD )+(BD - BC XBD + BC)<2AB. CD
» D C ( Ã C + Ã D ) + CD(BĨ5 + B C ) < 2 A B . C D
» D C ( Ấ C + Ã D - B D - B C ) < 2 A B . CD

» DC(ÃC + CB + ÃD + DB) < 2AB. CD

» D C. 2'ÃB < 2AB. CD » A B. 0 3 < AB. CD: đúng.
Dấu đẳng thức xảy ra khi AB/7CD.
Bài toán 6.32: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là hai điểm lần lượt chia AD, BC
theo tỉ số k < 0. Chứng minh MN < max(AB, CD).
Giải
Ta có M, N chia AD, BC theo tỉ số k nên

- - M B - k M C M Ã + Ã B - k ( M D + D C )
M N = - - - - - - - ^
1 - k 1 - k
( M Ấ - k M D ) + ÃB-kDC Ã B - k D C , , ^ ,
------------— -------------- = — — do k < 0 nên:
1 -k 1 -k

A B - k D C l Ề + { - k ) D C ÃB + (-k)DC AB-kD C
MN <
\ - k \ - k 1 -k 1 -k

147