Page 143 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương licn tiếp:
1 1 ^ |T 2 2 4
a b V ab V ab a -)• b a + b
2

Dấu đẳng thức xảy ra <=> a = b.
Bài toán 6.14: Cho a, b, c dương. Chứng minh bất đảng thức:
b + c c + a a 4 b
• + - 4 ---------- > 6 .
a b c
Giải
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương
b 4 - c c 4 - a a 4 b ( b a^ ( c a^ b^
— ^— 4 — ^— 4 — ^---- — 4 — + — 4 - 4 — 4- — > 2 4 - 2 + 2 - 6 .
Va oj V a Ib
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi a = b = c.
Bài toán 6.15: Cho 2 số a > 1, b > 1. Chứng minh bất đẳng thức:
aVb - 1 + bVa -1 < ab .
Giải
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm:

aVb - 1 4- bVa - 1 = a.yl(b - l ) . l 4 b-y/(a - l ) . l
b - 1 4 1 a -1 + 1
< a. + b = a b .

Dấu bằng xảy ra<=>a - l = b - l = 1 <=>a = b = 2
Bài toán 6.16: Cho 3 số dương a, b, c.
Chứng minh;
Vda +1 + ^J4b + \ + VícTT < 3 + 2{a + b + c ) .
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương:
4a +1 41
V4a 4 1 = Ậ 4 a 4 1)1 ■ = 1 4 2a

Vi a dương nôn 4a t 1 > 1 do đó dấu bằng không xảy ra nên

V4cí 41 <: 1 4 2 o .
'lương tự ta có: ^|4b + \ <ị + 2h , ^f4c 41 < 1 4 2c .

Cộng 3 bất đắng thức vế theo vế thì được
v 4o 4 ] 4 v 4b 41 4 'J~4c + 1 < 3 + 2(ữ + ố 4 C’) .

142