Page 141 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bất đẳng thức cuối đúng vì a + b > 2.

Cách 2: Ta cần chứng minh trung gian: a'^ -I' b'^ - a^ - > a t b - 2.
Bài toán 6 .6 : Cho 5 số a, b, c, d, e tuỳ ý. Chứng minh:

a^ + b^ + c^ + > a(b + c + d t c).
Giải
Ta có a^ -t b^ + c^ + d^ + > a(b + c + d + c)
<=i> 4(a^ + b^ + c^ -t d^ + e^) > 4(ab + ac + ad + ae)
<:i' (a^ + 4b' - 4ab) + (a^ + 4c^ - 4ac) -I- (a^ + 4d^ - 4ad) + (a^ + 4e^ - 4ae) > 0.
<=> (a - 2b)^ + (a - 2c)^ + (a - 2d)^ + (a - 2c)^ > 0: Đúng

Bài toán 6.7: Cho X, y dưong. Chứng minh: ——-y+—
(1 +x) (1 +v) l+x>'
Giải
, 1 1
la có X, y dương nên —— T+-----;■>------
(l+x)- ạ+ yf ì+xy

o (1 + xy)[(l + X)' t- (1 + y)'] > (1 + X Ý (1 + y)'
« (1 + xy)[2(l + X + y) f x^ + y^] > [(1 -t- X + y) + xy]^
<=> 1 + xy(x^ + y^) > 2xy + x^y’
o xy(x" + y^ - 2xy) + { x Y - 2xy + 1) > 0
<=i> xy(x - y)^ -1- (xy - 1)^ > 0: Đúng vi X, y > 0.

Bài toán 6.8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n: ^ + ^ + . . . + ^ < 2 .

Giải

Ta có: ^ i---- = —ỉ------- ỉ-, với mọi k > 2. Do đó;
k- k ( k - l ) k - 1 k

1 1 _Ị 1 , r i n r i n + . . . + í ^ - M
^ 2 + 2 2 + ^ 2 + . . . + — < 1 + +
2
n J 2 , . 2 3 , ^«-1
= 2 - - < 2 với mọi số nguyên dương n.
n
Bài toán 6.9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:
J _ 1
4= + 4 ^ + ... + 4 = < 2 V n - l .

Giải

Ta có: - 7 = = - Y- < -7 = — = 2(-y/Ìẽ-Vk - 1) ■
Vk Vk + Vk V k + V k - 1

140