Page 142 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Do đó: 4 . + -4 +...+4= < 4 ^ +2(V2 - ^ / ĩ ) + ...+ 2 ( ^ ^ 1 )
vĩ v2 Vn vl
= 1 - 2 1 2 VÕ = 2 Vn- 1 .
. . .X . , 1 3 2 n - l 1
Bài toán 6.10: Chứng minh với mọi sô nguyên dương n: — . . . - - - - - - - - <
2 ' 4 "' 2 n \ / 2 n
Giải

^ ^ ^ do đô:
2k \ (2k)" V ( 2 k ) - - 1 V 2 k + 1

i 1 2 n -l Ị ĩ Ị ĩ Ị l n - l _ 1 ^ _ J _
2 ' 4 " ' 2 n “ V 3 V 5 " ‘ V 2 n + l ~ V2n + 1 ■
Bài toán 6.11: Cho X, y, z > 0. Chứng minh
+ x v + > ’ “ + + y z + z ^ + -\/z^ +zx + x’ > (x + .V + z)^/3

Giải
Với X, y, z > 0, ta có;

x + y ' " x + y ^
7 x - + x y + y “ = + > = ^ . V ^
V 2 ; V ^ ; 1 l 2 J 2

Tương tự: ^4" +yz + z'' >—— -.^|ĩ ; > ------.Vj

Cộng 3 bất đẳng thức thì có:

' ■ V ” + _yz + z + V “ ” + 2X + .x

x + y y+ 3 z+ x
> ■ + ----- H---------.V3 = (x + y + z) V3 .
. 2 2 2 j
Bài toán 6.12: Chứng minh với 3 số a, b, c > 0:
a + b -+ c > Vãb + + V cã. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta được:
a b > 2 Vãb ; b ^ c > 2 -v/bc ; c -I- a > 2 Vcã .
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên:

2(a + b + c) > 2( Vãb 1 Vbc 1- V cã) hay a + b + c > Vãb + + Vcã
Dấu đẳng thức xảy ra <::> a =■ b = c.
Bài toán 6.13: Cho a, b dương. Chứng minh bất đẳng thức;
1 1 4 ' ’
— + ^— . Dâu dăng thức xảy ra khi nào?
a b a + b

141