Page 145 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Cộng lại 2 bấl đẳng thức thì có:
2(a^ + + c^) > 2(a^ -v/bc^ + b^ Vcă + c" Vãb ) => đpcm.
Dấu bàng xảy ra khi và chỉ khi a = b =c.
Bài toán 6.20: Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức;

a' b- c' a^ + b^+c-
— — + — + — — > ------------------------------------
a + b b + c c+ a
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
Áp dụng BDT Côsi, cho hai số dương, ta có:
a' a(a + b) -> a^ ^ 3 ab
■ H-----^------> a > —a
a + b 4 a + b 4 4
. 3 3
'r „ . ^ 3 bc c' ^ 3 2 c a
lương tự: ------ > —b - — ; — — > — c
b + c 4 4 c + a 4
3 L 3 3 T 1
D o đ ó ; - - - - 1 - - - - - - - - h — — • > — ( a ^ + b ^ + c ^ ) - — ( a b + b c + c a )
a + b b + c c + a 4 4
/ 2 1 2 I 2 . 2 2 . 2 ^
ci “í" b + c” c "I" â
> ^ ( a ^ + b ^ + c ^ ) 4 = -!-(a" + b' + c y
4 4 2 2 J 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài toán 6.21: Chứng minh với a, b, c dương và a + b + c < 1 thì
1 1 1
’
--ĩ---------'--- 7--------- '---ĩ-------- >9.
+2bc 0 + 2ca c" + 2ab
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
1 1 1 .
—r— ----- 1 -----------1 ;— -----
+2bc b ' + 2 c a +2ab

___________ 1 . _ 3____________

“ I (íT + 7bc){b^ + 2cạ)(c' + 2ứố) ~ +2hc){b^ +2ca)(c' +2ab)
9 9
> ---------------------_ĩ---------------------- = --------1 _ _ _ >9.
(a^ + 2hc) + (b^ + 2 c a ) + (c^ + 2ab) (a + ố + cÝ

Bài toán 6.22: Chứng minh bất đẳng thức:
X" +2xy + 3>^“ +2x + 6 y + 3 > 0,Vx,Vy .
Giải

Ta có x^ + 2xy + 3y~ + 2x + 6y + 3 > 0, Vx, Vy

144