Page 140 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

o ( a - b ) | ^ a ' ( a - c ) - b ' ( b - c ) J + c ' ( a - c ) ( b - c ) > 0

Vì a > b > c nôn bất đẳng thức đúng.
Bài toán 6.3: Chứng minh với mọi số a, b:

a) a^ -t- ab t b" > 0 b) a'^ f b"* > a^b ab^.
Giải

a) a^ + ab ( b" > 0 <=> 'ả. + • H— b“ > 0: đúng với mọi số a, b.
2y 4
b) + b'^ > a^b t- ab^ o - a^b t b‘* - ab^ > 0
<=> a^(a - b) - b^(a - b) > 0 C5> (a - b)(a^ - b^) > 0
<=> (a - b)“ (a^ + ab t b^) > 0

« (a - b)^ [ u + — b“ I > 0: đúng với mọi số a, b.
. 2) 4
Bài toán 6.4: Chứng minh với mọi a, b, c:
a) a^ t b~ -t c" > ab í bc ( ca b) (a t b ^ c)' < 3(a" + b' -( c“).
Giải
a) a^ -t- b" t- c“ > ab t bc ( ca « a^ + b^ -t c“ - ab - bc - ca > 0
<=> 2a^ + 2b^ + 2c^ - 2ab - 2bc - 2ca > 0
o (a - b)^ + (b - c)“ + (c - a)" > 0; Dúng.
Dẳng thức xảy r a o a - b = b - c ^ ” c - a = 0<=í>a = b^=c.
b) (a f b i c)^ < 3(a^ + b^ -t- c“)

<=> a“ + b^ -t- c“ -t- 2ab 1- 2bc 2ca < 3(a^ + b“ + c^)
« 2ab + 2bc i 2ca < 2(a“ -I b" 4 c^)
<íí> (a - b)“ I- (b - c)^ + (c - a)^ > 0: đúng.
Chú v: các bất đăng thức a" í- b" + c" > ab + bc -t ca
và (a + b f c)^ < 3(a^ -t b^ + c^‘)
là những bất dẳng thức phụ quan trọng để eiải toán.
Bài toán 6.5: Cho hai số a. b thoả mãn a -I b > 2.
Chứng minh bất đẳng thức a'^ I b^ < a"* + b'^.
Giải
Ta có: a^ ^ b^ < a'* + b‘* <tí> a'\a - 1) -( b‘’(b - 1) > 0
<=> a‘\ a - 1 ) - ( a - 1 ) -t- b ^ ( b - 1 ) - ( b - 1 ) + a + b - 2 > 0
o ( a - l ) ( a ^ - 1 ) t ( b - l ) ( b ^ - l ) + a t - b - 2 > 0
o ( a - 1 ) ^ (a^ + a + 1 ) f ( b - 1 ) ^ (b^ + b + 1) + (a + b - 2) > 0

« ( a - 1 )-[(a 1- ^ ]+ (b - 1)' l(b + 1 )2 + A I + (a + b - 2) > 0

139