Page 144 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bài toán 6.17: Cho a, b. c dương. Chứng minh bất đăng thức:
( \ 1 n
(a + /) + c) —+ —+ — >9
\a h c
Giải
Áp dụng Côsi cho 3 số dương:

a + b + c > > 0 ; - + - + - > 3 ^ >0
a b c Vabc
o ( 1 n
\
1
Suy ra (a + b + c) > ^ b c . 3 ^ - = = 9
yã b Cy ĩỊ^bc
Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương:
r a b ^ r a c ? r b c ^
(a ■( b ^ c )f-+ -+ -ì = l + l + l + - + - + - + - f - + -
la b c [ h a ) r e b ;
>3 + 2 -I 2 + 2 = 9.

Chú ý: Khi cần ta có thể viết dạng - + — + — >-
a h c a + b + c
Bài toán 6.18: Cho a, b, c dương. Chứng minh:
' 1 1 ^ 9
(a t b t c). ---------------- Ị _ ----------------1---------------- > —
a + b b + c c + ay 2 '
Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 sổ dương:
a + b i' c = — l(a t b) + (bt c) + (c t a)] > -^/(ã^+b)(b+c)(c + a) >0

và — ^ — I — ^— > 3 ỉ Ị > 0
a + b b + c c+ a (a + b)(b + c)(c + a)

/ 1 1 1 V 9
Nhân vế theo vế ( ư + b + c ) ) --------1---- — I-------- > — =í>đpcm.
\ a + b b + c c + a
Bài toán 6.19: Chứng minh với các sổ dương thì:
a^ + b^ + c^ > 4bc + b^ ^ỉcã + c^yfãb .

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương:

a^ + abc > 2a“ , b^ + abc > 2b^ Vcã, c^ + abc > 2c^ Vãb
=> a"’ + b^ + c^ -t' 3abc > 2(a" Vbc 't' b^ -Ịcã t c" Vãb )
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương; a^ -t b^ -t c^ > 3abc

143