Page 146 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

<t=> + 2(y + l)x + 3y^ + + 3 > 0, Vx,
Xem vế trái là tam thức bậc hai theo biến X, ta có:
A’= (y + 1)2 _ ( 3 y2 + 6y t 3) = - 2y' - 4y - 1
= -2(y 1 <0 với mọi y.
Vì hệ sổ a = 1 >0 nên f(x) > 0, với mọi X, với mọi y: đpcm.
Bài toán 6.23: Chứng minh bất đẳng thức:

(x + y)" - xy + 1 > (x + y)^fĩ , Vx, Vy.
Giải
Ta có (x + y)^ - xy + 1 > (x + y) V3

<=> x^ + 2xy + y^ - xy + 1 - (x + y) V3 >0
<=> x^ + (y - V3 )x + y^ - y -v/3 +1 >0
Xem vế trái là tam thức bậc hai theo biến X, ta có:
A = y 2 „ 2 ^ / 3 y + 3 - 4y^ + 4 v^y _ 4 = _ (V3 y _ 1)2 < 0, Vy.
Do đó tam thức bậc 2 f(x) = VT > 0, Vx, Vy.

[x + y + z = 5
Bài toán 6.24: Cho b a s ố thực X, y , z thoả m ã n
[xy + yz + zx = 8
7 7 7
Chímg minh răng: 1 < X < — ; l < y < — ; 1 < Z < — .

Ta có X, y, z thoả mãn;
xy + yz + zx = 8
í y + z = 5 - X
nên
yz = 8 - x(y + z) = 8 - x(5 - x) = x^ - 5x + 8
Do đó y và z là 2 nghiệm của phưoTng trình:
X^ - (5 - x)X + (x^ - 5x + 8) = 0 do đó biệt thức A > 0.
=> A = (5 - x ý - 4(x^ - 5x + 8) = -3x^ + lOx - 7 > 0
n
3x^ - 1 0 x t 7 < 0 = í > l < x < — .

7 7
Chứng minh tương tự ta có: 1 < y < — ; 1 < z < —.

Bài toán 6.25: Cho 4 số X, y, u, V thỏa mãn
X" + y^ = 1, + v^ = 1. Chứng minh: |xu + yv| < 1.
Giải
Vì x^ + y^ = 1 nên tồn tại số a để X = cosa, y = sina

145