Page 147 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Vì + V' = 1 nên tồn tại số b để u = cosb, y = sinb
Do đó: |xu + yvỊ = I cosa. cosb + sina. sinbỊ = I cos(a - b) |< 1.

Vậy |xu + yvị < 1.
Bài toán 6.26: Chứng minh bất đẳng thức
a-v + h y l \ - a ^ < 1, Va,ồ e .

Giải
n n
Vì a, b e [-1; 1] nên đặt a = sinu, b = sinv với u, V e — ].

Ta có: aVl - h ^ + h 4 \ - c r - sinu. cosv sinv. cosu = sin(u f-v) < 1.

Y ậ y a ^ f ĩ - - b ^ + < \ , y a , h e [ - \ ; \ ] .
Bài toán 6.27: Chứng minh với - 1 < X < 1 và mọi n >1 thì có bất đẳng thức;
( 1 + x ) ” + ( l - x ) " < 2 " .

Giải
Vì - 1 < X < 1 nên đặt X = cc)s2t, t e [0; ].
Do đó ta có
(1 + x)" + ( l - x ) " = ( l + cos2/)" + ( l - c o s 2 / ) "

= (2cos'0" + ( 2 s i n ' 0 ' ' = 2''(cos'"/ + sin'''/)
Mà n > 1 nên 2n > 2, do đó: cos^” í + sin“” t < cos“ í + sitr ( ~ 1

Vậy (l + x ỵ + o - x ) " < 2 " .
Bài toán 6.28: Cho X thỏa mãn I x I < 1. Chứng minh bất đẩng thức:

8x‘^ - 8x- + 1 < 1.
Giải
Vì I X I <1 nôn đặt X = cost
Ta có: cos4t = cos2. 2t = 2cos"2t - 1
= 2(2cos^t - 1 )^ - 1 = 8cos'\ - 8cos^t + 1
Do đó; I 8x'‘ - 8x^ + 1 I = I cos4t I < 1.

\ T ~ ^ ĩ
Bài toán 6.29: ChÚTig minh nếu |a| > 1 thì -2 < ■ —------ < 2 .
a
Giải

Với I a I > 1, theo đề bài nên ta chỉ cần xét a > 0 do đó a > 1,
1 71
Đặt a = —— (0 < t < —) thì ta có:
cos t 2

146