Page 168 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

> 1 .
(l + x) (1 + 3^)' (1 + ^) (^ + 0
Ta chứng minh các bất đẳng thức
1 1 1
(1)
(1 + x)' ( l+ v ) " ~ l + ^>'

(2)
(i+z)' (1+0'

Chứng minh bất đẳng thức (1):
1 1 ] x_y(x^'+ ■~2xv + l

(l + x)" (! + >’)" l + w (l + x )0 l + >’)0 l + -Ty)

_ x y { x - y f + { \ - x y )
> 0.
(1 + x ) 0 i + t ) 0 i + ^t )
Chứng minh (2) tương tir, ta có
^___^______ L_ = z /(z -Q '+ (l-z /)^ ^ ^

(i+ z )” (1+0" ( i + z)^ ( i+ 0 0 ^ + ^0
Cộng (1) và (2) thì được bất đẳng thức:

1 _ i _ _ _ L _ _ L _ > 1
( l + x ) “ (I + t ) (1 + ^ ) ' (^ + 0
Đẳng thức xảy ra khi a = h - c = d.
Bài toán 7.21: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 và độ dài cạnh là a, b, c.
Chứng minh ràng: 4(a^ + b^ + c^) + 15abc > 8.
Giải
Vì a, b, c là 3 cạnh tam giác ABC nên ta có:
a^ > a^ - (b - c)^ = (a - b -t c)(a + b - c) > 0
b“ > b^ - (c - aỷ = (b - c + a)(b + c - a) > 0
c^ > c^ - (a - b)^ = (c - a + b)(c + a - b) > 0
Suy ra: abc > (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)
Vì a + b + c = 2 nên abc > (2 - 2a)(2 - 2b)(2 - 2c). Suy ra:
8 - 8(a + b + c) + 8(ab + bc + ca) - 9abc < 0

=> 8 + 9abc - 8(ab + bc + ca) > 0
=ì> 24 - 24(ab + bc + ca) + 27abc > 0
=> 8(a + b + c)^ - 24(ab + bc + ca) + 27abc > 8

167