Page 124 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Điều kiện có nghiêm l à : A ' ^ — - 9 > 0 < = ? > a > 1 8

Lúc đó x'* + y'* = (x^ 4 y^Ý - 2x‘y^ = - - (36 - aỷ

= - (a^ + 72a - 1296) = - [(a - 18)(a f 90) +324]

Vì a > 18 nôn: x'' t" y'* > —— = 162
2
Vậy min(x'* + y'^) = 162 đạl được khi a = 18.

Bài toán 5.58: Định a đc hệ phưong Irình sau có một nghiệm duy nhất;

f y ’ - = x ^ - 4 x - + a x ( 1 )
[ x - = y ' - 4 y - V a y (2)

Giải
Neu (x; y) là một nghiệm của hệ thì (y; x) cũng là nghiệm. Do đó hệ có một
nghiệm duy nhất diều kiện cần là X = y.
Thế vào (1): x^ - 5x^ + ax == 0 <=> x(x" - 5x + a) = 0

<=> X 0 hay X” - 5x + a = 0 (3)
Hệ có một nghiệm duy nhất điều kiện cần là phương trình (3) vô nghiệm hoặc
chỉ có một nghiệm X = 0. Do (3) không thổ có một nghiệm duy nhất X = 0 nên ta
"^5
phải có A = 25 - 4a < 0 <=> a > — .

25
Diêu kiện đủ: Nêu a > — , trừ (1) và (2), ta có;

(x - y)(x^ I y^ t xy - 3x - 3y I a) = 0 X - y, vì:
x^ + y" I xy - 3x - 3y ) a ^ ^ x^ ) (y - 3)x I y^ - 3y 1 a

y - 3 V 3 y “ - 6 y - 9
X + ■ + 4 " c l

y - 3 V 3 ( y - l ) ' + 1 3 2 5 )
X + - + a - — > 0
4 j
Theo chímg minh trèn thì khi
25
X = y và a > thì hệ có một nghiệm duy nhât là (0; 0).

25
Vậy a >

123