Page 124 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức
P. 124

Điều kiện có nghiêm l à : A ' ^   —   -   9 > 0 < = ? > a > 1 8


      Lúc đó x'* + y'* = (x^ 4  y^Ý - 2x‘y^ =   -  -  (36 -  aỷ


         =  -  (a^ + 72a -  1296) =  -  [(a -  18)(a  f 90) +324]


      Vì a >  18 nôn: x''  t" y'* >  ——  =  162
                               2
      Vậy min(x'* + y'^) =  162 đạl được khi a =  18.


   Bài toán 5.58: Định a đc hệ phưong Irình sau có một nghiệm duy nhất;

           f y ’ - = x ^ - 4 x - + a x    ( 1 )
           [ x - = y ' - 4 y - V  a y   (2)

                                         Giải
      Neu  (x;  y)  là một nghiệm của  hệ  thì  (y;  x)  cũng  là  nghiệm.  Do  đó  hệ  có  một
   nghiệm duy nhất diều kiện cần là X =  y.
      Thế vào (1): x^ - 5x^ + ax == 0 <=> x(x" - 5x + a) = 0

          <=> X  0 hay X” - 5x + a = 0 (3)
      Hệ có một nghiệm duy nhất điều kiện cần là phương trình (3) vô nghiệm hoặc
   chỉ có một nghiệm X = 0.  Do (3) không thổ có một nghiệm duy nhất X = 0 nên ta
                                 "^5
   phải có A = 25 - 4a < 0 <=> a >  —  .

                            25
      Diêu kiện đủ: Nêu a >  —  , trừ (1) và (2), ta có;

         (x - y)(x^  I  y^  t  xy - 3x - 3y  I  a) = 0   X -  y, vì:
         x^ + y"  I  xy - 3x - 3y  )  a ^ ^ x^  ) (y - 3)x  I  y^ - 3y  1 a

                              y - 3 V     3 y “ - 6 y - 9
                          X   +   ■  +             4 "   c l


                              y - 3 V     3 ( y - l ) ' + 1 3  2 5 )
                          X + -      +                 a - —   > 0
                                                           4   j
      Theo chímg minh trèn thì khi
                       25
           X = y và a >   thì hệ có một nghiệm duy nhât là (0; 0).


               25
      Vậy a >


                                                                              123
   119   120   121   122   123   124   125   126   127   128   129