Page 107 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Bài toán 5.20: Tìm tham số k đế phương trình có 4 nghiệm:
2x'' - 17x^ f 51x^ - (36 + k)x + k - 0 (1)
Giải
Với mọi k thì X = 1 luôn thoả mãn phương trình (1)
Ta có (1) (x - 1) (2x^ - 15x^ + 36x - k) = 0

<=> X=1 hoặc 2x^ - 15x^ + 36x - k = 0(*)
- Trường hợp X = 1 là nghiệm cùa (*) <=ỉ> k = 23
Khi đó (*): 2x^ -15x“ + 36x- 23 = 0 « (x -1) (2x^ - 13x + 23) = 0
« X = 1 hoặc 2x^ - 13x + 23 = 0 <=> X = 1
Vậy khi k = 23 thì (1) có nghiệm duy nhất X = 1
- Với k 23, khi đó X = 1 không phải là nghiệm của (*) nên số nghiệm của (1)
bằng 1 cộng với số nghiệm của phương trình (*)
Xét f(x) = 2x^ -15x^ + 36x thì; f'(x) = 6x^ -30x t- 36 == 6(x^ - 5x t 6)
f'(x) = 0 « x= 2 hay x=3
Lập bảng biến thiên PT có bốn nghiệm phân biệt khi (*) có ba nghiệm phân
biệt nên 27 < k < 28.
Bài toán 5.21: Tìm a để phương trình sau vô nghiệm.
x^ +- 3x'^ + (6 - a)x'* + (7 - 2a)x^ + (6 - a)x" + 3x + 1 = 0.
Giải
Xét X = 0 => 1 = 0; loại. Xét X 0. Chia 2 vế cho x^, phương trìrứi;

x^ + 3x" + (6 - a)x + (7 - 2a) -t- (6 - a). —+ ^ 0
X X X

{ x ^ + \ ) + 3(x- -t--^ ) + (6 - a) (x + - ) t- 7 - 2a - 0
X X X

Đặt t = X + - , 111 > 2=> t^ = x^ + ^ 4- 2
X X

và t^ = x^ + — + 3(x + —) nên x^ + -■= t^ - 3t
x^ X X'
Do đó phưcmg trình: t^ - 3t + 3(t" - 2) + (6 - a)t + 7 - 2a = 0
(t + 2 ) a - t ^ + 3t- + 3t t- 1
Khi t = -2 thì phương trình không thoả.
1 _ _ . 1 ___/ + 3 c + j í + l (? + l )
Khi t ^ ~ 2 thì phương trình; a = ------------------- = — ——
t+ 2 t+ 2

(2t + 5)í( + l)^
Đặt f(t) - ^ , t < -2 hay t > 2 thì f'(t)
t + 2 2{t + 2 f

106