Page 73 - Phương Trình Mũ Logarit

Tương tư: b” > — -— = ----- ------ => a* + ố" > 1.
\-^ ya a + b -a b
b) Trong 3 số a + b, b + c, c + a nếu có một số, chẳng hạn
a + b > 1 thì (a+b)*^ > 1 và (b+c)“ + (c+a)*’ > b* + a*’ > 1 suy ra đpcm.
Còn nếu cả 3 số đó bé hơn 1 thì dùng bất đẳng thức (*).
Bài toán 6.16: Chứng minh bất đẳng thức:
^20^
+ + > 3’‘ + 4* + 5" với mọi X.
V J / 4 , V J 2
Dấu bằng khi nào ?
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số dương:

Ĩ 2 r i 5 V ^ 12^ 1 5 ^
> 2, 2 . 3 ^
V J 2 V 2 V J 2 V 2

^ 1 5 Y 2 ^ 1 5 Y ( " 20^ ’ '
2.5’'
V ^ 2 V J 2 V ^ 2 V J 2

r 20Y ( \2 \ ( 20 ^ 12^
+ > 2, 2.4’'
V 3 y V J 2 V -5 2 V ^ 2

Cộng lại 3 bất đẳng thức vế theo vế thì có
X X
r i 5 ^ ^ 2 0 ^
+ 2 + 2 >2(3’' + 4 ’' +5Y
b i l 4 j b J
Rút gọn cho 2 thì có => đpcm.
Y 2 ^’' 15V r 20Y
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <:> X = 0 .
V J 2 V 2 V J 2
Bài toán 6.17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) f(x) = X - e^’' nên đoạn [-1; 0] b) f(x) = 3 trên đoạn [-1; 1].
Giải
a) Ta có: f'(x) = 1 - 2e^’', f'(x) = 0 <=> X = \n^Ỉ2 e (-1; 0).

f(-l) = -1-eY f(-ln72 ) = , f(0) = -1.

So sánh thì maxf(x) = f(-ln 7 2 )= -ln 7 2 --, rn m f(x )= f(-l)= -l-e“^
X€(-1;0] 2 x6Ị-1;0]
b) f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-1; 1].
Xét 0 < x < 1 thì f(x) = 3’' => f'(x) = 3’'. In3 > 0 nên f đồng biến trên [0; 1].

72