Page 72 - Phương Trình Mũ Logarit

Bài toán 6.13: Cho p > 1, q > 1 thoả p + q = pq và a, b > 0

„ ' ’ a** b‘'
Chứng minh bất đẳng thức: ab < — + — .
p q
Giải
a'’ b'’
Xét hàm số f(a) = — + — - ab với a > 0.
p q

p-1
f'(a) = aP-' - b, f'(a) = 0 « aP-' = b o a = b ”
Mà p + q = pq => (p-l)(q-l) = 1 nên a = b‘'“'
Lập BBT thì min f = f(b‘’’') = 0 => đpcm.
Bài toán 6.14: Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:

a) a^.b^.c'^ > a*’.b‘^.c“ b) (abc) 3 < a ^ b ^ c '

Giải
a) Giả sử a = max{a, b, c}. Xét a > b > c:
BĐT « a®'*’ b*”'^ > c®-"
Vì a > b > c> 0 nên a^-*’ b'-‘= > c‘‘-'. b'’-'^ = c^“^
Xét a > c > b: BĐT a’^'^’ > b‘=■^ c‘*“^
V ì a > c > b > 0 n ê n c“’‘^ < a‘^''’.a®'‘^ = a®'*’

b) BĐT «> log(abc) 3 < log(aLb''.c‘')
Cĩ> (a + b + c)log(abc) < 3(loga® + logb'’ + logc*^)

o (a + b + c)(loga + logb + logc) < 3(aloga + blogb + clogc)
<í=> (a-b)(loga-logb) + (b-c)(logb-logc) + (c-a)(logc-loga) > 0.
BĐT này đúng vì cơ số 10 > 1 nên X > y > 0 logx > logy hoặc 0 < X < y
=> logx < logy nên (x - y) (logx - logy) > 0, Vx > 0, Vy > 0.
Bài toán 6.15: Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a) a‘’+ b“ > 1 b) (a + b)^ + (b + c)" + (c + a)’’ > 2.
Giải
a) Nếu a > 1 hoặc b >1 thì a*’ + b®> 1
Nếu 0 < a, b < 1. Xét f(x) = (l+x)“ - 1 - ax, X > 0, 0 < a < 1.
1
f'(x) = a (l + x)“'' - a = a ■1 < 0 .
I-a
,(l + x)
nên X > 0 => f(x) < f(0) = 0 (1 + x)“ < 1 + ax (*)

Áp dụng a = —- — ,x >0=> a > — — = ----- -------.— ,x > 0
1 + x \ + xb a + b -a b

71