Page 67 - Phương Trình Mũ Logarit

- Phương pháp dùng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đổi:
\a + b\ <\a\ + | ồ| với mọi a, b. Dấu đẳng thức xảy ra <=>ab > 0.
l a — è | < | a | + | ố | với mọi a, b. Dấu đẳng thức xảy ra <=>ab < 0.

- Phương pháp đạo hàm: Nếuy =f(x) cóy'> 0 thìf(x) đồng biến:
x> a =^f(x) >f(a); x < b =>f(x) <f(b)
Đổi vớiy'< 0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại.
Việc xét dấu y ’ đồi khi phải cần đến y ”, y hoặc xét dấu bộ phận, chằng
hạn tử sổ của một phân số có mẫu dương,....
N ếuy” > 0 thìy'đồng biến từ đó ta có đánh giả f '(x) rồi f(x),...
Lập bảng biến thiên từ đó có kết luận về GTLN, GTNN. Nếu cần thì đặt ẩn phụ
t = g(x) với điều kiện đầy đủ của í.
Nếuy = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì ta chi cần tìm các nghiệm Xị của đạo
hàm f ’(0)= 0 rồi so sánh kết luận:
mỉnf(x) = min (f(a); f(xi); f(x2);...; f(b) J
max f(x) = max { f(a); f(xi); f(x2);...; f(b) }.
Chú ỷ: Mũ hóa và logarit hóa.
Bài toán 6.1: Chứng minh bất đẳng thức: n""^' > (n + 1)", với mọi n e N, n > 3.
Giải

V ớ i n G N , n > 3 , b ấ t đẳng thức tương đương
. ^ ix n + 1 n
(n + l)lnn > nln(n + ! ) < = > — —----->
ln(n + l) Inn

Xét f(x) = trên (3; +oo) thì f'(x) = —- > 0.
Inx In X
Do đó f đồng biến trên (3; +oo) nên:

n + l > n > 3 : ^ f ( n + l ) > f(n) => ■ - —-— > : đpcm.
ln(n + 1) In n

Bài toán 6.2: Cho 4 số X , y, z, t G ( - ; 1). Chứng minh bất đẳng thức:
4
1.
logx y - + log, z -- + log, + log, X -------- > 8 .

Giải
V 1
Ta có: a - - > 0 => a - — < a với mọi a.
4

Và vì — < X , y, z, t < 1 nên hàm nghịch biến, do đó;
4
VT > logxy^ + logyZ^ + lo g / + logtx^ = 2(logxy + logyZ + logzt + logtx)

66