Page 68 - Phương Trình Mũ Logarit

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 sổ dưong:

2(logxy + logyZ + logzt + logtx) > 2(2.^1og^ ydog^ z. + 2^1og.t.log, x)

> 8.Ựlog^ y-log^ z.log, t.log, X = sVĨ = 8

Vậy: log, Ị^y - ^ j + logyỊ^z - ^ j + lo g ,|t - ^ j + log, Ị^x - ^ j > 8 .

Bài toán 6.3: Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi X > 0:

a) e’‘ > X + 1 b) e’‘ > 1 + X + — .
2
Giải
a) Xét hàm sổ f(x) = - X - 1 , X > 0 thì f '(x) = e’' - 1 > 0, Vx > 0 nên f đồng
biến trên (0; +oo) vì f liên tục trên [0; +oo)
nên f đồng biến trên [0; +oo): X > 0 =í> f(x) > f(0) = 0: đpcm.
x^
b) Xét f(x) = e’‘ - —— X - l , x > 0 t h ì f '(x) = e’‘ - X - 1 .

Theo câu a) thì f'(x) > 0 nên f đồng biến trên [0; +oo).
X > 0 => f(x) > f(0) = 0: đpcm.
Bài toán 6,4: Chứng minh bất đẳng thức:

4""^+2'“"^ >V 2^ , v ớ i m ọ i x e (0; - ) .

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 4"”^ + 2‘“ " >
Ta cần chứng minh: 2^*’'’ ^ ^ > 2^’^'^^ <=> 2sinx + tanx > 3x

Xét f(x) = 2sinx + tanx - 3x, 0 < X < —
2
1 2. 1
f '(x) = 2cosx + 3 > 2cos X + - 3 > 2 V 2 - 3 > 0
cos X cos X

nên f đông biến ,rên [0; í ): X > 0 => f(x) > f(0) = 0: đpcm

Bài toán 6.5: Chứng minh bất đẳng thức: e’' > với mọi X.
x^ - 2x + 2
Giải
Nếu X < 0 thì BĐT đúng.

Nếu X > 0, vì x^ - 2x + 2 > 0, Vx nên BĐT <=> x^ - 2x + 2 > — .
e’'

67