Page 71 - Phương Trình Mũ Logarit
P. 71
Bài toán 6.11: Cho các số nguyên n (n > 2) và hai số thực không âm X, y. Chứng
,n+l
minh bất đẳng thức: + y" > + y"
Giải
Với X = 0 hoặc y = 0, bất đẳng thức đúng.
Với xy > 0, bất đẳng thức cần chứng minh tưcmg đưorng với
1 n V n+1
í x )
ĩ ^ + > n+1 1 +
ì ly j 1 ly j
n/i , ^11
Xét hàm số f(t) = —p - - — với t e (0; +Q0).
t"~ '(l-t)
Ta c ó f ’(t) ; f '(t) = 0 o t = 1.
BBT
t 0 +00
f'(t) 0 + 0
f(t)
1 1
Suy ra f(t) > 1 với mọi t e (0; +oo) => đpcm.
Bài toán 6.12: Cho a, b > 0 v à a + b = l .
Chứng minh bất đẳng thức: < a.e’^ + b.e^, với mọi X, với mọi y.
Giải
Ta có a, b > 0 và a + b = 1 nên b = l - a d o đ ó O < a < l
BĐT: + -a)e^
« eT - 1) - a.e’'-’' + a - 1 < 0.
Xét f(t) = e“’ - a.e‘ + a -1, t e R.
f'(t) = a(e"‘ -e ‘), f'(t) = 0 o t = 0.
BBT
t -00 0
f' + 0
f
Suy ra f(t) < 0, Vt => đpcm.
70
