Page 70 - Phương Trình Mũ Logarit

f'(x) = e" + e’^ ; f'(x) = 0 « x = 0.
Vĩ+ x

2
vì e’' + e"’‘ > 2 và - < 2 nên f '(x) > 0, Vx > 0.
Vl + x^
Do đó f(x) đồng biến trên [0;+oo) nên f(x) > f(0) = 0 => đpcm.
Bài toán 6.9: Cho 0 < x < l ; 0 < y < l vàxjtỴ , Chứng minh rằng:

I n - ^ - l n - ^ >4
y - x 1- y 1- x
Giải
Do X y, không giảm tổng quát, giả sử y > X .

Xét hàm số f(t) = In-V— 4t, với 0 < t < 1
1- t

f ' ( t ) = > 0 nên f(t) là hàm đồng biến trên (0; 1)

Vì y > X nên ta có f(y) > f(x) hay In ■4y > In^^^---- 4x
1- y 1- x

và do y - X > 0 nên suy ra I n ^ - l n - ^ >4 => đpcm.
y - x 1- y 1- x
Bài toán 6.10: Cho a > b > 0.

Chứng minh bất đẳng thức: 2“ +• V + V -

Giải
Với a > b > 0, bất đẳng thức tưorng đưoTig:
' 4 “ + l '
< < ( 4 “ + i r < ( 4 " + i ) “
2
2“ \ ^ J
b.ln(4" + 1) < a.ln(4^ + 1) » ) < In

X étf(x)= \ x > 0

4Mn4 1
f ' ( x ) = ,x-ln(l + 4*) (4M n4*-(l+4*).lna + 4*))<0
1 + 4* x'(l + 4*)

nên f nghịch biến; a > b > 0 => f(a) < f(b): đpcm

69