Page 69 - Phương Trình Mũ Logarit

Xét f(x) = - 2x + 2, X > 0,f '(x) = 2x - 2,
f'(x) = 0 » X = 1. Lập BBT thì minf(x) = f(l) = 1
e’‘ - x e ’‘ 1- x
Xét g(x)= ^ , x > 0 , g'(x) =
,2x
g '(x) = 0 X = 1. Lập BBT thì maxg(x) = g(x) = - .
e
Vì minf(x) > maxg(x) đpcm
- ^ x^
Bài toán 6.6: Chứng minh bât đăng thức: + cosx > 2 + X - — , với mọi X.
• 2
Giải
x^ _ „
Xét hàm số f(x) = e’' + cosx - 2 - X+ — ,D = R.

f'(x) = - sinx - 1 + x; f'(x) = 0 <» X = 0.
f "(x) = e’‘ + 1 - cosx > 0, Vx nên f'(x) đồng biến trên R, ta có:
f'(x) < f '(0) = 0, Vx < 0; f ’(x) > f '(0) = 0, Vx > 0.
BBT:
X -00 0
f'(x) 0 +

f(x) 0

Vậy f(x) = + cosx - 2 - X+ — >0, Vx.

. ^ x^
Bài toán 6.7: Chứng minh bât đăng thức: ln(l + x) > X - — với mọi X > 0.

Giải

BĐT: ln(l + x) - X + — > 0, Vx > 0

Xét f(x) = ln(l + x) - X + — , X > 0, f'(x) = ^ > 0
2 1 + x
và f liên tục trên [0; +Q0) nên f đồng biến trên [0; +oo)
x^
Do đó: X > 0 ^ f(x) > f(0) rí> ln(l + x) - X + — > 0 : đpcm.

Bài toán 6.8: Chứng minh bất đẳng thức;

e’‘ - > 21n(x + Vl + X" ), với mọi X > 0.
Giải
Xét hàm số f(x) = - e - 21n [x + -\/ĩ+ ^ j, D = [0; +oo)

68