Page 39 - Phương Trình Mũ Logarit

Bài toán 3.17: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số:
a ) y = 3 ^ b) y = 5*^".
Giải
a) Ta chứng minh quy nạp: y^"^ = (ln3)'’.3’^
Khi n = 1 thì y’ = (in3).3 .
Giả sử công thức đúng khi n = k: y*'^^ = (ln3)'‘.3'‘
Ta chứng minh công thức đúng khi n = k +1: ^ (In3f^'.3’‘
Thật vậy: = (ln3f = (ln3)‘'^'.3": đpcm.
Vậy = (ln3)".3".
b) y’ = (kln5).5'‘^ y" = (kln5)^.5'“
Ta chứng minh quy nạp; y^"* = (klnS)". 5 ^ ^
Bài toán 3.18: Chứng minh:
a) Nếu y = + 2 ẽ ^ thì: y"' - 13y' - 12y = 0.

b) Nếu y = thì y^^^ + 4y = 0.
e’‘
Giải
a) Tập xác định D = R.
y' = - 2e■^ y" = lóe'*’^ + 2e■^ y'" = 64e^’‘ - 2e'’‘ nên:
y'" - 13y' - 12y = (64e'^’‘ - 2e”‘) - 13(4e^’‘ - 2e'") - 12(e''’‘ + 26”^) = 0.
cosx
b) Ta có y = e’’‘.cosx => y' = e’’‘(-sinx - cosx)

y" = e'’‘.(2sinx), y'" = 2e'’‘(cosx - sinx), y*'*- = -4e'’‘.cosx
Do đó y^"^^ = -4y => y^*^^ + 4y = 0.

Bài toán 3,19: Cho hàm số f(x) = . Tính tổng:
4’' +2
• n
s= f + f + ... + Ĩ
v n ; V n ;
Giải
Để ý nếu a + b = 1 thì:

4‘‘(4^ + 2) + 4'^(4‘’ +2)
f(a) + f(b) =
4^+2 4'^+2 (4^+2)(4'’ +2)
1 a+ b
^ 2,4« + + 2.4” 2,4“ +2.4” +8
= 1
1 a+ b
+ 2.4” +2.4'’ +4 2.4^ +2.4'’ +8
^ n - 0
Ta có: s = f + f + ... + f
v n ; V n 7

38